integral 2x akar(2 x-1) dx=....

Integral dari 2x akar(2x-1) dx adalah $\frac{2}{15} (2x-1)^{3/2} (3x + 1) + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int 2x\sqrt{2x-1} dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi. Misalkan $u = 2x-1$. Maka, $du = 2 dx$, atau $dx = \frac{1}{2} du$. Dari $u = 2x-1$, kita juga dapatkan $2x = u+1$, sehingga $x = \frac{u+1}{2}$. Mengganti variabel ke dalam integral:

$\int x\sqrt{2x-1} (2 dx) = \int \frac{u+1}{2} \sqrt{u} du$

$= \frac{1}{2} \int (u^{3/2} + u^{1/2}) du$

Sekarang, kita integralkan:

$= \frac{1}{2} \left( \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) + C$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} \right) + C$

$= \frac{1}{5} u^{5/2} + \frac{1}{3} u^{3/2} + C$

Ganti kembali $u = 2x-1$:

$= \frac{1}{5} (2x-1)^{5/2} + \frac{1}{3} (2x-1)^{3/2} + C$

Faktor keluarkan $(2x-1)^{3/2}$:

$= (2x-1)^{3/2} \left( \frac{1}{5} (2x-1) + \frac{1}{3} \right) + C$

$= (2x-1)^{3/2} \left( \frac{2x}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) + C$

$= (2x-1)^{3/2} \left( \frac{2x}{5} + \frac{-3+5}{15} \right) + C$

$= (2x-1)^{3/2} \left( \frac{2x}{5} + \frac{2}{15} \right) + C$

$= \frac{2}{15} (2x-1)^{3/2} (3x + 1) + C$