integral -3 3 |x^2-2x-3| dx=...

64/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu $|x^2-2x-3|$ dari -3 sampai 3, kita perlu menentukan di mana fungsi kuadrat $x^2-2x-3$ bernilai positif atau negatif dalam interval tersebut.

Pertama, cari akar-akar dari persamaan $x^2-2x-3 = 0$. Faktorkan persamaan tersebut:
$(x-3)(x+1) = 0$
Akar-akarnya adalah x = 3 dan x = -1.

Dalam interval $[-3, 3]$, fungsi $x^2-2x-3$ bernilai positif untuk $x < -1$ atau $x > 3$, dan bernilai negatif untuk $-1 < x < 3$.

Karena kita mengintegralkan dari -3 sampai 3, kita perlu memecah integralnya berdasarkan perubahan tanda fungsi:
$\\int_{-3}^{3} |x^2-2x-3| dx = \int_{-3}^{-1} (x^2-2x-3) dx + \int_{-1}^{3} -(x^2-2x-3) dx$

Hitung integral pertama:
$\\int_{-3}^{-1} (x^2-2x-3) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x]_{-3}^{-1}$
$= (\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 3(-1)) - (\frac{(-3)^3}{3} - (-3)^2 - 3(-3))$
$= (-\frac{1}{3} - 1 + 3) - (-9 - 9 + 9)$
$= (-\frac{1}{3} + 2) - (-9)$
$= \frac{5}{3} + 9 = \frac{5+27}{3} = \frac{32}{3}$

Hitung integral kedua:
$\\int_{-1}^{3} -(x^2-2x-3) dx = -[\frac{x^3}{3} - x^2 - 3x]_{-1}^{3}$
$= -[( \frac{3^3}{3} - 3^2 - 3(3) ) - ( \frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 - 3(-1) )]$
$= -[( 9 - 9 - 9 ) - ( -\frac{1}{3} - 1 + 3 )]$
$= -[(-9) - (\frac{5}{3})]$
$= -[-9 - \frac{5}{3}]$
$= -[-\frac{27+5}{3}]$
$= -[-\frac{32}{3}] = \frac{32}{3}$

Jumlahkan kedua hasil integral:
Total integral = $\frac{32}{3} + \frac{32}{3} = \frac{64}{3}$

Jadi, hasil dari integral -3 sampai 3 dari $|x^2-2x-3|$ dx adalah 64/3.