Nilai dari lim _(x -> (pi)/(4)) (cos x-cos 3 x)/(1-cos 2 x)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \cos 3x}{1 - \cos 2x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$.

Turunan dari pembilang (cos x - cos 3x) adalah -sin x + 3sin 3x.
Turunan dari penyebut (1 - cos 2x) adalah 2sin 2x.

Maka, limitnya menjadi $\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-\sin x + 3\sin 3x}{2\sin 2x}$.
Substitusikan x = $\frac{\pi}{4}$:
$\frac{-\sin(\frac{\pi}{4}) + 3\sin(3\frac{\pi}{4})}{2\sin(2\frac{\pi}{4})} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} + 3(\frac{\sqrt{2}}{2})}{2\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}}{2(1)} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.