Interval saat fungsi f(x)=8 cos 1/2(x+pi) tidak naik dengan

Interval saat fungsi f(x) tidak naik adalah [-π, π].

Pembahasan

Untuk mencari interval saat fungsi f(x) = 8 cos(1/2(x + pi)) tidak naik (atau monoton turun) pada interval -2pi < x < 2pi, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan kapan turunannya negatif.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).
f(x) = 8 cos(1/2(x + pi))
Menggunakan aturan rantai, turunan dari cos(u) adalah -sin(u) * u'. Dalam kasus ini, u = 1/2(x + pi).
Turunan dari u terhadap x adalah u' = 1/2.

f'(x) = 8 * [-sin(1/2(x + pi))] * (1/2)
f'(x) = -4 sin(1/2(x + pi))

Langkah 2: Tentukan kapan f'(x) < 0 (fungsi tidak naik).
-4 sin(1/2(x + pi)) < 0
Bagi kedua sisi dengan -4 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
sin(1/2(x + pi)) > 0

Langkah 3: Cari nilai-nilai di mana sinus positif.
Fungsi sinus positif pada kuadran I dan II. Jadi, untuk sudut \(\theta\), \(\sin(\theta) > 0\) ketika \(0 < \theta < \pi\) ditambah kelipatan \(2\pi\).
Dalam kasus ini, \(\theta = 1/2(x + pi)\).
Jadi, kita punya:
2kπ < 1/2(x + pi) < π + 2kπ, di mana k adalah bilangan bulat.

Kalikan semua bagian dengan 2:
4kπ < x + pi < 2π + 4kπ

Kurangi π dari semua bagian:
4kπ - π < x < 2π + 4kπ - π
(4k - 1)π < x < (4k + 1)π

Langkah 4: Tentukan interval yang relevan dalam -2pi < x < 2pi.
Kita perlu mencari nilai k sehingga interval ((4k - 1)π, (4k + 1)π) beririsan dengan (-2pi, 2pi).

Jika k = 0:
(4(0) - 1)π < x < (4(0) + 1)π
-π < x < π
Interval ini sepenuhnya berada dalam (-2pi, 2pi).

Jika k = 1:
(4(1) - 1)π < x < (4(1) + 1)π
3π < x < 5π
Interval ini berada di luar (-2pi, 2pi).

Jika k = -1:
(4(-1) - 1)π < x < (4(-1) + 1)π
-5π < x < -3π
Interval ini juga berada di luar (-2pi, 2pi).

Jadi, satu-satunya interval di mana fungsi tidak naik adalah -π < x < π.
Namun, kita perlu memeriksa kembali kondisi soal. Fungsi tidak naik berarti f'(x) <= 0. Ini berarti kita juga perlu mempertimbangkan kasus di mana f'(x) = 0.

f'(x) = -4 sin(1/2(x + pi))
f'(x) = 0 ketika sin(1/2(x + pi)) = 0.
Ini terjadi ketika 1/2(x + pi) = nπ, di mana n adalah bilangan bulat.
x + pi = 2nπ
x = 2nπ - π

Dalam interval -2pi < x < 2pi:
Jika n = 0, x = -π
Jika n = 1, x = π

Jadi, titik kritis adalah x = -π dan x = π.

Mari kita uji interval:
1. -2pi < x < -pi:
Pilih x = -3pi/2.
1/2(x + pi) = 1/2(-3pi/2 + pi) = 1/2(-pi/2) = -pi/4.
sin(-pi/4) = -sqrt(2)/2.
f'(-3pi/2) = -4 * (-sqrt(2)/2) = 2sqrt(2) > 0. (Fungsi naik)

2. -pi < x < pi:
Pilih x = 0.
1/2(x + pi) = 1/2(0 + pi) = pi/2.
sin(pi/2) = 1.
f'(0) = -4 * (1) = -4 < 0. (Fungsi tidak naik)

3. pi < x < 2pi:
Pilih x = 3pi/2.
1/2(x + pi) = 1/2(3pi/2 + pi) = 1/2(5pi/2) = 5pi/4.
sin(5pi/4) = -sqrt(2)/2.
f'(3pi/2) = -4 * (-sqrt(2)/2) = 2sqrt(2) > 0. (Fungsi naik)

Jadi, interval di mana fungsi tidak naik adalah -pi <= x <= pi.

Namun, perlu diperhatikan interpretasi "tidak naik". Jika "tidak naik" berarti "monoton turun", maka kita mencari f'(x) <= 0. Jika "tidak naik" berarti "bukan naik", maka kita mencari f'(x) <= 0.

Jika kita mencari interval di mana turunan kurang dari atau sama dengan nol, yaitu f'(x) <= 0:
-4 sin(1/2(x + pi)) <= 0
sin(1/2(x + pi)) >= 0

Ini terjadi ketika:
2kπ <= 1/2(x + pi) <= π + 2kπ
4kπ <= x + pi <= 2π + 4kπ
(4k - 1)π <= x <= (4k + 1)π

Untuk k = 0:
-π <= x <= π
Interval ini berada dalam (-2pi, 2pi).

Jadi, interval saat fungsi tidak naik (monoton turun) dengan -2pi < x < 2pi adalah [-π, π]. Jika intervalnya terbuka, maka (-π, π). Dalam konteks soal, biasanya mencakup titik ujung di mana turunannya nol.

Mari kita periksa soal asli: "tidak naik". Ini biasanya berarti f'(x) <= 0. Jadi, intervalnya adalah [-π, π]. Jika diminta interval terbuka, maka (-π, π).

Soal ini meminta interval saat fungsi tidak naik. Ini berarti kita mencari di mana kemiringan fungsi non-positif (turun atau mendatar). Jadi, kita mencari f'(x) <= 0.

f'(x) = -4 sin(1/2(x + pi))
Kita ingin f'(x) <= 0
-4 sin(1/2(x + pi)) <= 0
Bagilah dengan -4 dan balikkan tanda ketidaksamaan:
sin(1/2(x + pi)) >= 0

Nilai sinus positif atau nol ketika sudut berada di kuadran I atau II, atau pada batas-batasnya. Secara umum, \(2n\pi \le \theta \le \pi + 2n\pi\).
Dalam kasus ini, \(\theta = \frac{1}{2}(x + \pi)\).
Jadi:
\(2n\pi \le \frac{1}{2}(x + \pi) \le \pi + 2n\pi\)
Kalikan dengan 2:
\(4n\pi \le x + \pi \le 2\pi + 4n\pi\)
Kurangi \(\pi\) dari semua bagian:
\(4n\pi - \pi \le x \le 2\pi + 4n\pi - \pi\)
\((4n - 1)\pi \le x \le (4n + 1)\pi\)

Sekarang, kita batasi pada interval \(-2\pi < x < 2\pi\).
Untuk \(n = 0\):
\((4(0) - 1)\pi \le x \le (4(0) + 1)\pi\)
\(-\pi \le x \le \pi\)
Interval ini \([-\pi, \pi]\) berada dalam \((-2\pi, 2\pi)\).

Untuk \(n = 1\):
\((4(1) - 1)\pi \le x \le (4(1) + 1)\pi\)
\(3\pi \le x \le 5\pi\)
Interval ini berada di luar \((-2\pi, 2\pi)\).

Untuk \(n = -1\):
\((4(-1) - 1)\pi \le x \le (4(-1) + 1)\pi\)
\(-5\pi \le x \le -3\pi\)
Interval ini berada di luar \((-2\pi, 2\pi)\).

Jadi, interval saat fungsi tidak naik adalah \([-\pi, \pi]\).
Jika yang dimaksud adalah interval terbuka, maka \((-\pi, \pi)\). Namun, dalam konteks interval kenaikan/penurunan fungsi, titik di mana turunan sama dengan nol biasanya termasuk.

Jawaban yang paling tepat adalah interval tertutup [-π, π].