Diketahui sin A=3/5 dengan 0<A<1/2pi. Hitunglah sin(1/2A),

sin(1/2 A) = \(\frac{\sqrt{10}}{10}\), cos(1/2 A) = \(\frac{3\sqrt{10}}{10}\), dan tan(1/2 A) = \(\frac{1}{3}\).

Pembahasan

Diketahui \(\sin A = \frac{3}{5}\) dengan \(0 < A < \frac{1}{2}\pi\). Ini berarti sudut A berada di kuadran I, di mana semua nilai sinus, kosinus, dan tangen adalah positif.

Kita perlu mencari \(\sin(\frac{1}{2}A)\), \(\cos(\frac{1}{2}A)\), dan \(\tan(\frac{1}{2}A)\).

Langkah 1: Cari nilai \(\cos A\).
Kita bisa menggunakan identitas identitas Pythagoras: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).
(\(\frac{3}{5}\))^2 + \(\cos^2 A = 1\)
\(\frac{9}{25}\) + \(\cos^2 A = 1\)
\(\cos^2 A = 1 - \frac{9}{25}\)
\(\cos^2 A = \frac{25 - 9}{25}\)
\(\cos^2 A = \frac{16}{25}\)
Karena A di kuadran I, \(\cos A\) positif.
\(\cos A = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\).

Langkah 2: Gunakan rumus setengah sudut.
Rumus setengah sudut untuk sinus, kosinus, dan tangen adalah:
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}\)
\(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos A}{\sin A}\)

Karena \(0 < A < \frac{1}{2}\pi\), maka \(0 < \frac{1}{2}A < \frac{1}{4}\pi\). Sudut \(\frac{1}{2}A\) juga berada di kuadran I, sehingga nilai sinus, kosinus, dan tangennya positif.

Langkah 3: Hitung \(\sin(\frac{1}{2}A)\).
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}\)
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}}\)
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{\frac{5 - 4}{5}}{2}}\)
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{\frac{1}{5}}{2}}\)
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{1}{10}}\)
\(\sin(\frac{1}{2}A) = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}\).

Langkah 4: Hitung \(\cos(\frac{1}{2}A)\).
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{1 + \frac{4}{5}}{2}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{\frac{5 + 4}{5}}{2}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{\frac{9}{5}}{2}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \sqrt{\frac{9}{10}}\)
\(\cos(\frac{1}{2}A) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}\).

Langkah 5: Hitung \(\tan(\frac{1}{2}A)\).
Kita bisa menggunakan \(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{\sin(\frac{1}{2}A)}{\cos(\frac{1}{2}A)}\) atau rumus langsung.

Menggunakan hasil \(\sin(\frac{1}{2}A)\) dan \(\cos(\frac{1}{2}A)\):
\(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{\frac{\sqrt{10}}{10}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \times \frac{10}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{3}\).

Atau menggunakan rumus \(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{1 - \cos A}{\sin A}\):
\(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{1 - \frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}\)
\(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{\frac{5 - 4}{5}}{\frac{3}{5}}\)
\(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{5} \times \frac{5}{3} = \frac{1}{3}\).

Jadi, \(\sin(\frac{1}{2}A) = \frac{\sqrt{10}}{10}\), \(\cos(\frac{1}{2}A) = \frac{3\sqrt{10}}{10}\), dan \(\tan(\frac{1}{2}A) = \frac{1}{3}\).