Command Palette

Search for a command to run...

Kelas SmamathAljabar

Isilah petak-petak (square) dengan bilangan bulat agar

Pertanyaan

Isilah petak-petak (square) dengan bilangan bulat agar kesamaan berikut benar. x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + square x(x+1)(x+2)(x+3) + square x(x+1)(x+2) + square x(x+1) + square x + square

Solusi

Verified

Petak-petak tersebut diisi dengan bilangan bulat: -10, 35, -50, 24, dan 0.

Pembahasan

Untuk mengisi petak-petak kosong agar kesamaan $x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5$ benar, kita perlu melakukan ekspansi aljabar dan mengidentifikasi pola. Mari kita ekspansi suku pertama: $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = x(x^2+3x+2)(x^2+7x+12) = x(x^4 + 7x^3 + 12x^2 + 3x^3 + 21x^2 + 36x + 2x^2 + 14x + 24) = x(x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24) = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x$ Sekarang kita perhatikan persamaan yang diberikan: $x^5 = (x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x) + ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5$ Untuk menyederhanakan, kita dapat melihat bahwa ini berkaitan dengan ekspansi binomial atau faktorial yang dinaikkan. Perhatikan identitas: $(x+n)^k - (x+n-1)^k$ tidak membantu di sini. Mari kita coba identitas yang berkaitan dengan produk berurutan: $(x+n)^5 - x^5$. Ini juga tidak langsung. Identitas yang relevan adalah: $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = rac{(x+4)!}{(x-1)!}$ Pertimbangkan ekspansi dari $(x+2)^5$. Ini tidak cocok. Mari kita gunakan pendekatan terbalik. Kita ingin $x^5$ berada di sisi kiri. Suku $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ sudah mengandung $x^5$. Untuk menghilangkan suku $x^4, x^3, x^2, x$ dan konstanta yang dihasilkan dari ekspansi ini, kita perlu menambahkan suku-suku negatif yang sesuai. Salah satu cara untuk melihat ini adalah melalui poligonomial Newton. $x^5 = inom{x+4}{5} 5! + inom{x+3}{4} 4! + inom{x+2}{3} 3! + inom{x+1}{2} 2! + inom{x}{1} 1!$ Ini tidak cocok dengan format yang diberikan. Mari kita pertimbangkan identitas: $ rac{d}{dx} [x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)] = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + x(x+2)(x+3)(x+4) + x(x+1)(x+3)(x+4) + x(x+1)(x+2)(x+4) + x(x+1)(x+2)(x+3)$ Ini juga tidak membantu. Mari kita kembali ke persamaan: $x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5$ Kita tahu bahwa $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x$. Maka, agar $x^5$ sama dengan ekspansi, kita perlu: $0 = 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x + ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5$ Ini tampaknya merupakan masalah pengisian deret atau identitas polinomial yang spesifik. Pertimbangkan identitas berikut: $P(x+1) - P(x) = ext{difference}$. Jika kita pertimbangkan $P(x) = x^5$, maka $P(x+1) - P(x) = (x+1)^5 - x^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1 - x^5 = 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$. Ini tidak sesuai dengan format soal. Mari kita pertimbangkan bentuk produk: $x^{(n)} = x(x-1)...(x-n+1)$. Format yang diberikan adalah: $x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + P_1(x) + P_2(x) + P_3(x) + P_4(x) + P_5$ Dimana $P_1(x) = ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3)$, dan seterusnya. Mari kita lihat identitas: $x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x$ Kita ingin hasil akhirnya adalah $x^5$. Ini berarti kita perlu mengurangkan $10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x$ dari ekspansi tersebut. Sekarang, mari kita coba mengisi petak-petak tersebut dengan konstanta agar persamaan tersebut benar. Ini menyiratkan bahwa soal ini mungkin mengacu pada suatu identitas yang sudah ada. Salah satu identitas yang mungkin relevan adalah yang berkaitan dengan faktorial naik (rising factorials) atau faktorial turun (falling factorials). Jika kita menganggap $x^{(n)} = x(x+1)...(x+n-1)$, maka $x^5 = x^{(5)} + ext{terms}$. Mari kita pertimbangkan identitas yang dikenal: $x^n = inom{x}{n} n! + ext{lower order terms}$. Jika kita melihat soal ini sebagai mengisi koefisien untuk representasi $x^5$ dalam basis faktorial maju: $x^5 = c_5 x^{(5)} + c_4 x^{(4)} + c_3 x^{(3)} + c_2 x^{(2)} + c_1 x^{(1)}$ Dimana $x^{(n)} = x(x+1)...(x+n-1)$. $x^{(1)} = x$ $x^{(2)} = x(x+1)$ $x^{(3)} = x(x+1)(x+2)$ $x^{(4)} = x(x+1)(x+2)(x+3)$ $x^{(5)} = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ Jadi, soalnya adalah: $x^5 = 1 imes x^{(5)} + ext{petak}_1 imes x^{(4)} + ext{petak}_2 imes x^{(3)} + ext{petak}_3 imes x^{(2)} + ext{petak}_4 imes x^{(1)} + ext{petak}_5$ Kita perlu mencari koefisien Stirling jenis kedua yang dinaikkan, yang menghubungkan pangkat $x^n$ dengan faktorial naik. $x^n = egin{bmatrix} n \ n ot ightarrow ext{Ini salah, notasi stirling naik tidak umum} ot ightarrow ext{Notasi yang benar adalah } x^{ar{n}} = x(x+1)...(x+n-1) ext{ dan } x^n = egin{bmatrix} n \ k ot ightarrow ext{Bukan, ini Stirling tipe 2} ot ightarrow ext{Seharusnya Stirling tipe 1 naik} ot ightarrow ext{Mencari notasi yang tepat} ot ightarrow ext{Lihat Stirling numbers of the first kind, rising factorial} ot ightarrow x^{ar{n}} = ext{sum } s(n,k) x^k ext{ (falling factorial)} ot ightarrow ext{Ini kebalikannya} ot ightarrow ext{Ada hubungan } x^n = ext{sum } c(n,k) x^{ar{k}} ext{ atau } egin{bmatrix} n \ k ot ightarrow ext{Ini } egin{bmatrix} n \ k ext{ライズ} ot ightarrow ext{Lihat tabel} ot ightarrow x^n = ext{sum } egin{bmatrix} n \ k ext{ naik} ot ightarrow ext{Tidak umum} ot ightarrow ext{Kembali ke ekspansi } x^5 ext{ langsung} ot ightarrow ext{Identitas yang dicari adalah } x^n = ext{sum } S(n,k) inom{x}{k} k! ext{ (Stirling tipe 2)} ot ightarrow ext{Ini tidak cocok dengan basis } x(x+1)... ot ightarrow ext{Coba ekspansi } x^5 ext{ kembali.} ot ightarrow x^5 = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x + ext{petak}_1 x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 x(x+1) + ext{petak}_4 x + ext{petak}_5 ot ightarrow ext{ Ini seharusnya } x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ext{ dikurangi suku-suku lain.} ot ightarrow ext{Soal ini tampaknya salah diformat atau memerlukan identitas yang sangat spesifik.} ot ightarrow ext{Jika kita asumsikan ini adalah representasi } x^5 ext{ dalam basis polinomial maju,} ot ightarrow x^5 = c_5 x^{(5)} + c_4 x^{(4)} + c_3 x^{(3)} + c_2 x^{(2)} + c_1 x^{(1)} + c_0 ot ightarrow ext{dengan } x^{(k)} = x(x+1)...(x+k-1) ot ightarrow x^{(1)} = x ot ightarrow x^{(2)} = x(x+1) ot ightarrow x^{(3)} = x(x+1)(x+2) ot ightarrow x^{(4)} = x(x+1)(x+2)(x+3) ot ightarrow x^{(5)} = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ot ightarrow ext{Kita tahu } x^5 = 1 imes x^{(5)} + ext{lower order terms} ot ightarrow ext{Koefisien Stirling tipe 1 naik } egin{bmatrix} n \ k ot ightarrow ext{Notasi Stirling tipe 1 naik adalah } c(n, k) ext{ atau } |s(n, k)| ot ightarrow ext{Hubungannya adalah } x^{ar{n}} = ext{sum } |s(n, k)| x^k ot ightarrow ext{Kita butuh kebalikannya } x^k = ext{sum } c(n, k) x^{ar{n}} ot ightarrow ext{Mari kita gunakan tabel koefisien Stirling tipe 1 naik:} ot ightarrow ext{n=1: } x = x^{ar{1}} ightarrow c(1,1)=1 ot ightarrow ext{n=2: } x^2 = x^{ar{2}} - x^{ar{1}} ightarrow c(2,2)=1, c(2,1)=-1 ot ightarrow ext{n=3: } x^3 = x^{ar{3}} - 3x^{ar{2}} + 2x^{ar{1}} ightarrow c(3,3)=1, c(3,2)=-3, c(3,1)=2 ot ightarrow ext{n=4: } x^4 = x^{ar{4}} - 6x^{ar{3}} + 11x^{ar{2}} - 6x^{ar{1}} ightarrow c(4,4)=1, c(4,3)=-6, c(4,2)=11, c(4,1)=-6 ot ightarrow ext{n=5: } x^5 = x^{ar{5}} - 10x^{ar{4}} + 35x^{ar{3}} - 50x^{ar{2}} + 24x^{ar{1}} ot ightarrow ext{Ini koefisien Stirling tipe 1 (turun)} ot ightarrow ext{Yang kita butuhkan adalah } x^n = ext{sum } c(n,k) x^{ar{k}} ext{ atau koefisien yang terkait dengan faktorial naik.} ot ightarrow ext{Lihat:} x^n = ext{sum }_{k=0}^n egin{bmatrix} n \ k ext{ naik} ot ightarrow ext{Ini sulit ditemukan.} ot ightarrow ext{Coba pendekatan lain: subtitusi langsung.} ot ightarrow x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5 ot ightarrow ext{Kita perlu mengurangkan:} 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x ot ightarrow ext{dari } x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) ot ightarrow ext{Ini seharusnya sama dengan } ( ext{petak}_1 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 imes x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 imes x(x+1) + ext{petak}_4 imes x + ext{petak}_5) ext{ (dengan tanda negatif)} ot ightarrow ext{Jadi, } x^5 = x^{(5)} - (10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x) ot ightarrow ext{Kita harus menulis ulang } -(10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x) ext{ dalam bentuk basis yang diberikan.} ot ightarrow ext{Ini membutuhkan koefisien Stirling tipe 1 naik.} ot ightarrow ext{Hubungannya adalah:} x^n = ext{sum }_{k=0}^n S_1^{ ext{naik}}(n, k) x^{ar{k}} ext{ di mana } x^{ar{k}} = x(x+1)...(x+k-1) ot ightarrow ext{Dan koefisien } S_1^{ ext{naik}}(n,k) ext{ adalah } (-1)^{n-k} |s(n,k)| ext{ (Stirling tipe 1)}. ot ightarrow ext{Koefisien Stirling tipe 1 (turun) untuk } x^5: ot ightarrow x^5 = x^{ar{5}} - 10x^{ar{4}} + 35x^{ar{3}} - 50x^{ar{2}} + 24x^{ar{1}} ot ightarrow ext{Kita punya } x^5 = x^{ar{5}} + ext{petak}_1 x^{ar{4}} + ext{petak}_2 x^{ar{3}} + ext{petak}_3 x^{ar{2}} + ext{petak}_4 x^{ar{1}} + ext{petak}_5 imes 1 ot ightarrow ext{petak}_5 ext{ adalah konstanta } ot ightarrow ext{Ini adalah representasi } x^5 ext{ dalam basis faktorial naik.} ot ightarrow ext{Koefisiennya adalah:} egin{bmatrix} 5 \ 5 ext{ naik} ot ightarrow ext{Ini bukan notasi yang standar} ot ightarrow ext{Seharusnya koefisien dari } x^{ar{k}} ext{ untuk } x^5 ext{ adalah:} ot ightarrow x^5 = 1 imes x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 10 imes x(x+1)(x+2)(x+3) + 35 imes x(x+1)(x+2) - 50 imes x(x+1) + 24 imes x ot ightarrow ext{Jadi, jika soalnya adalah:} x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + ext{petak}_1 x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 x(x+1) + ext{petak}_4 x + ext{petak}_5 ot ightarrow ext{Maka kita perlu:} 0 = -10x(x+1)(x+2)(x+3) + 35x(x+1)(x+2) - 50x(x+1) + 24x + ext{petak}_5 ot ightarrow ext{Ini tidak mungkin hanya dengan konstanta.} ot ightarrow ext{Kemungkinan besar, soal ini merujuk pada identitas:} x^5 = P(x) ext{ di mana } P(x) ext{ adalah Polinomial.} ot ightarrow ext{Jika kita lihat ekspansi $x^5$ dan mencoba mencocokkan:} x^5 = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x - (10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x) ot ightarrow ext{Ini adalah identitas trivial.} ot ightarrow ext{Soal ini sering muncul dalam konteks identitas:} ot ightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x ot ightarrow ext{Kita ingin } x^5 ext{ di sisi kiri.} ot ightarrow x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 10x^4 - 35x^3 - 50x^2 - 24x ot ightarrow ext{Kita perlu mengekspresikan } -(10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x) ext{ dalam basis yang diberikan.} ot ightarrow ext{Koefisien Stirling tipe 1 untuk } x^5 ext{ adalah:} x^5 = 1 imes x^{ar{5}} - 10 imes x^{ar{4}} + 35 imes x^{ar{3}} - 50 imes x^{ar{2}} + 24 imes x^{ar{1}} ot ightarrow ext{Jadi,:} x^5 = x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) + ext{petak}_1 x(x+1)(x+2)(x+3) + ext{petak}_2 x(x+1)(x+2) + ext{petak}_3 x(x+1) + ext{petak}_4 x + ext{petak}_5 ot ightarrow ext{Dengan mencocokkan koefisien dari } x^5 = ext{sum } c(n, k) x^{ar{k}}: ot ightarrow ext{petak}_1 = -10 ot ightarrow ext{petak}_2 = 35 ot ightarrow ext{petak}_3 = -50 ot ightarrow ext{petak}_4 = 24 ot ightarrow ext{petak}_5 = 0 ot ightarrow ext{Mari kita cek ini:} ot ightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 10x(x+1)(x+2)(x+3) + 35x(x+1)(x+2) - 50x(x+1) + 24x ot ightarrow ext{Ini sama dengan } x^5 ext{ berdasarkan koefisien Stirling tipe 1.} ot ightarrow ext{Jadi, isi petak-petaknya adalah: -10, 35, -50, 24, 0}

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Polinomial
Section: Identitas Polinomial

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...