Jarak yang ditempuh sebuah benda dalam waktu t detik

a. v(t) = -t² + 6t - 4. b. Nilai t yang mengakibatkan laju tertinggi adalah 3 detik. c. Laju benda tertinggi adalah 5 meter/detik.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep turunan dalam kalkulus untuk menentukan laju (kecepatan) dan nilai maksimum.

Jarak yang ditempuh benda diberikan oleh persamaan: s(t) = -1/3 t³ + 3t² - 4t

a. **Menentukan laju benda pada saat t atau v(t):**
   Laju benda (kecepatan) adalah turunan pertama dari fungsi jarak terhadap waktu (t). Jadi, v(t) = s'(t).
   v(t) = d/dt (-1/3 t³ + 3t² - 4t)
   v(t) = -1/3 * (3t²) + 3 * (2t) - 4
   v(t) = -t² + 6t - 4

b. **Menentukan nilai t yang mengakibatkan laju benda tertinggi:**
   Untuk mencari laju benda tertinggi, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi kecepatan (v(t)) dan menyamakannya dengan nol untuk mencari titik stasioner (potensial maksimum atau minimum). Turunan pertama dari kecepatan adalah percepatan (a(t)).
   a(t) = v'(t) = d/dt (-t² + 6t - 4)
   a(t) = -2t + 6

   Samakan a(t) dengan nol:
   -2t + 6 = 0
   -2t = -6
   t = 3 detik

   Untuk memastikan apakah ini adalah nilai maksimum atau minimum, kita bisa menggunakan turunan kedua dari v(t), yaitu v''(t).
   v''(t) = a'(t) = d/dt (-2t + 6) = -2
   Karena v''(t) = -2 (negatif), maka pada t = 3 detik, laju benda mencapai nilai maksimum.

c. **Menentukan laju benda yang tertinggi:**
   Substitusikan nilai t = 3 detik ke dalam fungsi kecepatan v(t).
   v(3) = -(3)² + 6(3) - 4
   v(3) = -9 + 18 - 4
   v(3) = 9 - 4
   v(3) = 5 meter/detik

   Jadi, laju benda tertinggi adalah 5 meter/detik yang terjadi pada saat t = 3 detik.