Solusi pertidaksamaan (x-2)(x^2 + x - 6)/x^2 + x -20 > 0

x ∈ (-5, -3) ∪ (4, ∞)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\frac{(x-2)(x^2 + x - 6)}{x^2 + x -20} > 0$, pertama-tama kita faktorkan semua ekspresi: 
$(x-2)(x^2 + x - 6) = (x-2)(x+3)(x-2) = (x-2)^2(x+3)$
$x^2 + x - 20 = (x+5)(x-4)$
Jadi, pertidaksamaan menjadi $\frac{(x-2)^2(x+3)}{(x+5)(x-4)} > 0$.

Titik-titik kritis adalah nilai-nilai x yang membuat pembilang atau penyebut sama dengan nol. Titik kritisnya adalah x=2 (dari (x-2)^2), x=-3 (dari x+3), x=-5 (dari x+5), dan x=4 (dari x-4).

Sekarang kita uji interval yang dibentuk oleh titik-titik kritis ini: (-∞, -5), (-5, -3), (-3, 2), (2, 4), (4, ∞).

1. Interval (-∞, -5): Ambil x = -6. $\frac{(-6-2)^2(-6+3)}{(-6+5)(-6-4)} = \frac{(-8)^2(-3)}{(-1)(-10)} = \frac{64(-3)}{10} = -19.2 < 0$.
2. Interval (-5, -3): Ambil x = -4. $\frac{(-4-2)^2(-4+3)}{(-4+5)(-4-4)} = \frac{(-6)^2(-1)}{(1)(-8)} = \frac{36(-1)}{-8} = \frac{-36}{-8} = 4.5 > 0$.
3. Interval (-3, 2): Ambil x = 0. $\frac{(0-2)^2(0+3)}{(0+5)(0-4)} = \frac{(-2)^2(3)}{(5)(-4)} = \frac{4(3)}{-20} = \frac{12}{-20} = -0.6 < 0$.
4. Interval (2, 4): Ambil x = 3. $\frac{(3-2)^2(3+3)}{(3+5)(3-4)} = \frac{(1)^2(6)}{(8)(-1)} = \frac{1(6)}{-8} = \frac{6}{-8} = -0.75 < 0$.
5. Interval (4, ∞): Ambil x = 5. $\frac{(5-2)^2(5+3)}{(5+5)(5-4)} = \frac{(3)^2(8)}{(10)(1)} = \frac{9(8)}{10} = \frac{72}{10} = 7.2 > 0$.

Karena kita mencari nilai yang > 0, maka solusinya adalah interval di mana hasilnya positif, yaitu (-5, -3) dan (4, ∞).

Solusi pertidaksamaan adalah x ∈ (-5, -3) ∪ (4, ∞).