Jari-jari lingkaran 6 cm, panjang garis singgung AP=BP=8

9.6 cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri lingkaran, khususnya mengenai garis singgung dan tali busur. Diketahui:
*   Jari-jari lingkaran (r) = 6 cm
*   Panjang garis singgung dari titik P ke titik singgung A (PA) = 8 cm
*   Panjang garis singgung dari titik P ke titik singgung B (PB) = 8 cm
*   Kita perlu mencari panjang tali busur AB.

Garis singgung AP tegak lurus dengan jari-jari OA di titik singgung A. Demikian pula, garis singgung BP tegak lurus dengan jari-jari OB di titik singgung B. Segitiga OAP dan segitiga OBP adalah segitiga siku-siku dengan siku-siku di A dan B.

Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga OAP (atau OBP) untuk mencari panjang OP:
$OP^2 = OA^2 + AP^2$
$OP^2 = 6^2 + 8^2$
$OP^2 = 36 + 64$
$OP^2 = 100$
$OP = \sqrt{100}$
$OP = 10$ cm

Sekarang, perhatikan segitiga OAP. Misalkan titik potong antara OP dan AB adalah titik M. Segitiga OAP siku-siku di A, dan AM adalah garis tinggi ke sisi miring OP. Luas segitiga OAP dapat dihitung dengan dua cara:
Luas = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * OA * AP = (1/2) * 6 * 8 = 24 cm²
Luas = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * OP * AM = (1/2) * 10 * AM

Menyamakan kedua luas:
24 = (1/2) * 10 * AM
24 = 5 * AM
$AM = 24 / 5$
$AM = 4.8$ cm

Karena segitiga OAP dan OBP kongruen (memiliki sisi-sisi yang sama: OA=OB, AP=BP, OP=OP), maka segitiga OAB adalah segitiga sama kaki. Garis OM adalah sumbu simetri yang membagi AB menjadi dua sama panjang, yaitu AM = MB. Jadi, AB = 2 * AM.

$AB = 2 * 4.8$
$AB = 9.6$ cm

Oleh karena itu, panjang tali busur AB adalah 9.6 cm.