Jika 0 < a < 1 maka (3+3a^x)/(a^x+1)<a^x mempunyai

x < log_a(3)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3+3a^x)/(a^x+1)<a^x dengan syarat 0 < a < 1, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Manipulasi pertidaksamaan.
Kalikan kedua sisi dengan (a^x + 1). Karena 0 < a < 1 dan x adalah bilangan real, a^x selalu positif, sehingga tanda pertidaksamaan tidak berubah.
3 + 3a^x < a^x(a^x + 1)
3 + 3a^x < (a^x)^2 + a^x

Langkah 2: Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat dalam variabel a^x.
0 < (a^x)^2 + a^x - 3a^x - 3
0 < (a^x)^2 - 2a^x - 3

Langkah 3: Faktorkan pertidaksamaan kuadrat.
Misalkan y = a^x. Maka pertidaksamaannya menjadi y^2 - 2y - 3 > 0.
Faktorkan: (y - 3)(y + 1) > 0.

Langkah 4: Tentukan interval solusi untuk y.
Akar-akarnya adalah y = 3 dan y = -1. Karena parabola membuka ke atas, solusi untuk (y - 3)(y + 1) > 0 adalah y < -1 atau y > 3.

Langkah 5: Ganti kembali y dengan a^x dan pertimbangkan syarat 0 < a < 1.
Kita memiliki dua kemungkinan:
1. a^x < -1
   Karena a^x selalu positif untuk setiap nilai real x (dan 0 < a < 1), kondisi ini tidak mungkin terpenuhi.

2. a^x > 3
   Kita tahu bahwa 0 < a < 1. Fungsi eksponensial a^x dengan basis antara 0 dan 1 adalah fungsi yang menurun. Artinya, semakin besar nilai x, semakin kecil nilai a^x.
   Untuk a^x > 3, kita perlu mencari nilai x yang memenuhi.
   Karena a < 1, maka a^x akan lebih kecil dari 1 jika x positif, dan akan lebih besar dari 1 jika x negatif.
   Agar a^x > 3, nilai x harus negatif. Jika a = 1/2, maka (1/2)^x > 3. Ini terjadi ketika x < log_{1/2}(3) = -log_2(3).
   Secara umum, jika 0 < a < 1, maka a^x > 3 hanya jika x < log_a(3). Karena a < 1, log_a(3) adalah bilangan negatif. Misalnya, jika a = 0.5, maka log_0.5(3) ≈ -1.58. Jadi, x harus lebih kecil dari nilai negatif ini.

Oleh karena itu, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah x < log_a(3), di mana 0 < a < 1.