Jika 1/2 pi<=x<=pi dan sin x=0,9 maka tan(2x)=....

(9 * sqrt(19)) / 31

Pembahasan

Diketahui 1/2 pi <= x <= pi, yang berarti x berada di kuadran II. Pada kuadran II, nilai sinus positif dan nilai kosinus negatif. Diketahui sin x = 0,9. Kita bisa mencari nilai cos x menggunakan identitas trigonometri sin^2 x + cos^2 x = 1.
(0,9)^2 + cos^2 x = 1
0,81 + cos^2 x = 1
cos^2 x = 1 - 0,81
cos^2 x = 0,19
Karena x di kuadran II, cos x bernilai negatif, sehingga cos x = -sqrt(0,19).
Sekarang kita perlu mencari tan(2x). Rumus untuk tan(2x) adalah:
tan(2x) = (2 tan x) / (1 - tan^2 x)
Kita tahu tan x = sin x / cos x = 0,9 / (-sqrt(0,19)).
Maka, tan^2 x = (0,9)^2 / (-sqrt(0,19))^2 = 0,81 / 0,19.
Sekarang substitusikan ke rumus tan(2x):
tan(2x) = (2 * (0,9 / -sqrt(0,19))) / (1 - (0,81 / 0,19))
tan(2x) = (-1,8 / sqrt(0,19)) / ((0,19 - 0,81) / 0,19)
tan(2x) = (-1,8 / sqrt(0,19)) / (-0,62 / 0,19)
tan(2x) = (-1,8 / sqrt(0,19)) * (0,19 / -0,62)
tan(2x) = (1,8 * 0,19) / (sqrt(0,19) * 0,62)
tan(2x) = 0,342 / (sqrt(0,19) * 0,62)
Untuk memudahkan perhitungan, kita bisa menghitung nilai sqrt(0,19) terlebih dahulu. sqrt(0,19) kira-kira 0,4359.
tan(2x) = 0,342 / (0,4359 * 0,62)
tan(2x) = 0,342 / 0,270258
tan(2x) kira-kira 1,2655
Namun, mari kita coba cara lain menggunakan identitas tan(2x) = 2 tan x / (1 - tan^2 x) dan nilai sin x dan cos x yang sudah kita dapatkan.
Kita punya sin x = 0,9 dan cos x = -sqrt(0,19).
tan x = sin x / cos x = 0,9 / -sqrt(0,19)
1 - tan^2 x = 1 - (sin^2 x / cos^2 x) = 1 - (0,81 / 0,19) = (0,19 - 0,81) / 0,19 = -0,62 / 0,19
2 tan x = 2 * (0,9 / -sqrt(0,19)) = 1,8 / -sqrt(0,19)
tan(2x) = (1,8 / -sqrt(0,19)) / (-0,62 / 0,19)
tan(2x) = (1,8 / -sqrt(0,19)) * (0,19 / -0,62)
tan(2x) = (1,8 * 0,19) / (sqrt(0,19) * 0,62)
tan(2x) = 0,342 / (sqrt(0,19) * 0,62)
Perhitungan ini agak rumit tanpa kalkulator. Mari kita periksa apakah ada cara yang lebih mudah atau jika ada informasi yang terlewat.
Kita tahu sin x = 0.9. Maka x = arcsin(0.9). Karena 1/2 pi <= x <= pi, maka x berada di kuadran II.
Kita perlu menghitung tan(2x).
Rumus lain untuk tan(2x) adalah tan(2x) = sin(2x) / cos(2x).
sin(2x) = 2 sin x cos x = 2 * (0,9) * (-sqrt(0,19)) = -1,8 * sqrt(0,19).
cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = 0,19 - (0,9)^2 = 0,19 - 0,81 = -0,62.
Maka, tan(2x) = (-1,8 * sqrt(0,19)) / (-0,62)
tan(2x) = (1,8 * sqrt(0,19)) / 0,62
Sekarang kita perlu menghitung nilai ini. sqrt(0,19) 
kita cari nilai eksaknya.
Jika sin x = 9/10, maka kita bisa membuat segitiga siku-siku di mana sisi depan adalah 9 dan sisi miring adalah 10. Sisi samping adalah sqrt(10^2 - 9^2) = sqrt(100 - 81) = sqrt(19).
Karena x di kuadran II, sin x positif, cos x negatif, tan x negatif.
cos x = -sqrt(19) / 10
tan x = sin x / cos x = (9/10) / (-sqrt(19)/10) = -9 / sqrt(19)
Sekarang hitung tan(2x) menggunakan tan(2x) = 2 tan x / (1 - tan^2 x).
1 - tan^2 x = 1 - (-9/sqrt(19))^2 = 1 - (81/19) = (19 - 81) / 19 = -62 / 19.
2 tan x = 2 * (-9 / sqrt(19)) = -18 / sqrt(19).
tan(2x) = (-18 / sqrt(19)) / (-62 / 19)
tan(2x) = (-18 / sqrt(19)) * (19 / -62)
tan(2x) = (18 * 19) / (sqrt(19) * 62)
tan(2x) = (18 * sqrt(19) * sqrt(19)) / (sqrt(19) * 62)
tan(2x) = (18 * sqrt(19)) / 62
tan(2x) = (9 * sqrt(19)) / 31.
Jadi, nilai tan(2x) adalah (9 * sqrt(19)) / 31.