Jika 1<a<2, maka semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

Penyebut selalu negatif. Agar pecahan positif, pembilang harus negatif, sehingga menghasilkan -4 < x < 0.

Pembahasan

Kita perlu menemukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (x^2 + 4x) / (-x^2 + 2x - 3a) > 0, dengan diketahui bahwa 1 < a < 2.

Agar pecahan lebih besar dari nol, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama (keduanya positif atau keduanya negatif).

Langkah 1: Analisis pembilang.
x^2 + 4x > 0
x(x + 4) > 0
Ini terjadi ketika x < -4 atau x > 0.

Langkah 2: Analisis penyebut.
Penyebutnya adalah -x^2 + 2x - 3a. Kita perlu menentukan tandanya.
Diskriminan (D) dari kuadratik -x^2 + 2x - 3a adalah:
D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(-1)(-3a) = 4 - 12a

Karena 1 < a < 2:
12 < 12a < 24
-24 < -12a < -12
4 - 24 < 4 - 12a < 4 - 12
-20 < D < -8

Karena diskriminan (D) negatif dan koefisien x^2 (-1) negatif, maka ekspresi -x^2 + 2x - 3a selalu negatif untuk semua nilai x real.

Langkah 3: Gabungkan analisis pembilang dan penyebut.
Pertidaksamaan menjadi:
(x^2 + 4x) / (negatif) > 0
Ini berarti x^2 + 4x harus negatif agar hasil pembagiannya positif.

Jadi, kita perlu menyelesaikan:
x^2 + 4x < 0
x(x + 4) < 0

Ini terjadi ketika -4 < x < 0.

Karena penyebut selalu negatif untuk semua x real (berdasarkan rentang nilai 'a'), maka satu-satunya kondisi agar pecahan positif adalah jika pembilangnya negatif. Oleh karena itu, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah -4 < x < 0.