Jika 1/(x+1)=y, maka limit (x+1) mendekati tak hingga x

1/2

Pembahasan

Untuk mencari limit (x+1) tan(1/(2x+2)) saat x mendekati tak hingga, kita bisa melakukan substitusi. Misalkan y = 1/(2x+2). Ketika x mendekati tak hingga, 2x+2 juga mendekati tak hingga, sehingga y mendekati 0. Dari y = 1/(2x+2), kita dapatkan 2x+2 = 1/y, atau 2(x+1) = 1/y, yang berarti x+1 = 1/(2y). Maka, limit tersebut menjadi: lim (y->0) [1/(2y)] tan(y/2). Kita tahu bahwa lim (y->0) tan(y)/y = 1. Jadi, kita bisa ubah ekspresi menjadi: lim (y->0) [1/2y] * [sin(y/2) / cos(y/2)]. Agar sesuai dengan bentuk standar, kita bisa menulisnya sebagai: lim (y->0) [1/2y] * [sin(y/2) / cos(y/2)] = lim (y->0) [sin(y/2) / (2y cos(y/2))] = lim (y->0) [sin(y/2) / (y/2 * 2 * cos(y/2))] = (1/2) * lim (y->0) [sin(y/2) / (y/2)] * lim (y->0) [1 / cos(y/2)]. Karena lim (y->0) sin(y/2) / (y/2) = 1 dan lim (y->0) 1 / cos(y/2) = 1/cos(0) = 1/1 = 1, maka hasil limitnya adalah (1/2) * 1 * 1 = 1/2.