Jika 2 cos (60+x)=cos(60-x), buktikan tan x=1/9 akar(3)!

Dengan menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan kosinus, terbukti bahwa tan x = akar(3)/9.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan "Jika 2 cos (60+x)=cos(60-x), maka tan x=1/9 akar(3)", kita perlu menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan untuk kosinus.

Identitas yang relevan adalah:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Menerapkan identitas ini pada kedua sisi persamaan:

Sisi kiri: 2 cos (60+x)
2 [cos 60 cos x - sin 60 sin x]
Karena cos 60 = 1/2 dan sin 60 = sqrt(3)/2:
2 [ (1/2) cos x - (sqrt(3)/2) sin x ]
cos x - sqrt(3) sin x

Sisi kanan: cos(60-x)
cos 60 cos x + sin 60 sin x
(1/2) cos x + (sqrt(3)/2) sin x

Sekarang kita samakan kedua sisi:
cos x - sqrt(3) sin x = (1/2) cos x + (sqrt(3)/2) sin x

Untuk mendapatkan tan x, kita perlu mengumpulkan suku-suku sin x dan cos x.
Pindahkan suku cos x ke kanan dan suku sin x ke kiri:
cos x - (1/2) cos x = sqrt(3) sin x + (sqrt(3)/2) sin x
(1/2) cos x = (2*sqrt(3)/2) sin x + (sqrt(3)/2) sin x
(1/2) cos x = (3*sqrt(3)/2) sin x

Untuk mendapatkan tan x (sin x / cos x), bagi kedua sisi dengan cos x dan bagi kedua sisi dengan (3*sqrt(3)/2):
(1/2) / (3*sqrt(3)/2) = sin x / cos x

1/2 * 2 / (3*sqrt(3)) = tan x
1 / (3*sqrt(3)) = tan x

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(3):
(1 * sqrt(3)) / (3*sqrt(3) * sqrt(3)) = tan x
sqrt(3) / (3 * 3) = tan x
sqrt(3) / 9 = tan x

Jadi, terbukti bahwa jika 2 cos (60+x)=cos(60-x), maka tan x = sqrt(3)/9.