Jika 2cos^2(x)+cos x sin x-sin^2(x)=0 maka tan x= ....

$\tan x = 2$ atau $\tan x = -1$

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai tan x dari persamaan trigonometri $2\cos^2(x) + \cos x \sin x - \sin^2(x) = 0$.
Untuk mencari tan x, kita bisa membagi seluruh persamaan dengan $\cos^2(x)$, dengan asumsi $\cos x \neq 0$. Jika $\cos x = 0$, maka $x = 90^{\circ} + n 	imes 180^{\circ}$, dan $\sin x = \pm 1$. Dalam kasus ini, persamaan menjadi $2(0)^2 + (0)(\pm 1) - (\pm 1)^2 = 0$, yang menghasilkan $-1 = 0$, sebuah kontradiksi. Jadi, $\cos x \neq 0$.

Membagi setiap suku dengan $\cos^2(x)$: 
$$ \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} + \frac{\cos x \sin x}{\cos^2(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{0}{\cos^2(x)} $$
$$ 2 + \frac{\sin x}{\cos x} - \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 0 $$
Kita tahu bahwa $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Mengganti $\frac{\sin x}{\cos x}$ dengan $\tan x$, kita mendapatkan:
$$ 2 + \tan x - \tan^2(x) = 0 $$
Ini adalah persamaan kuadrat dalam $\tan x$. Agar lebih mudah dilihat, kita bisa menyusun ulang persamaan menjadi bentuk standar $ax^2+bx+c=0$: 
$$ \tan^2(x) - \tan x - 2 = 0 $$
Sekarang, kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini. Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -2 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1. Bilangan tersebut adalah -2 dan 1.
$$ (\tan x - 2)(\tan x + 1) = 0 $$
Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk $\tan x$:
1. $\tan x - 2 = 0 \implies \tan x = 2$
2. $\tan x + 1 = 0 \implies \tan x = -1$

Jadi, nilai $\tan x$ yang memenuhi persamaan tersebut adalah 2 atau -1.