Jika 2cos^2x=a+1 untuk pi/8<=x<=pi/4, nilai tan4x=....

$\tan(4x) = \frac{2a\sqrt{1-a^2}}{2a^2 - 1}$

Pembahasan

Untuk menentukan nilai tan(4x), kita perlu menggunakan identitas trigonometri dan informasi yang diberikan.

Diketahui: $2\cos^2x = a+1$
Dengan menggunakan identitas $\cos(2x) = 2\cos^2x - 1$, kita dapat mengganti $2\cos^2x$ dengan $a+1$:
$\cos(2x) = (a+1) - 1 = a$

Sekarang, kita perlu mencari nilai tan(4x). Kita tahu bahwa $\tan(4x) = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}$.
Kita juga bisa menggunakan identitas $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$ dan $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$.

Dari $\cos(2x) = a$, kita bisa mencari $\sin(2x)$ menggunakan identitas $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$:
$\sin^2(2x) + a^2 = 1$
$\sin(2x) = \pm\sqrt{1-a^2}$

Karena $\pi/8 \le x \le \pi/4$, maka $\pi/4 \le 2x \le \pi/2$. Pada kuadran ini, sinus bernilai positif, sehingga $\sin(2x) = \sqrt{1-a^2}$.

Sekarang kita bisa mencari $\cos(4x)$ dan $\sin(4x)$:
$\cos(4x) = \cos(2(2x)) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(a^2) - 1 = 2a^2 - 1$
$\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2\sin(2x)\cos(2x) = 2(\sqrt{1-a^2})(a) = 2a\sqrt{1-a^2}$

Akhirnya, kita dapat menghitung tan(4x):
$\tan(4x) = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} = \frac{2a\sqrt{1-a^2}}{2a^2 - 1}$

Jadi, nilai $\tan(4x) = \frac{2a\sqrt{1-a^2}}{2a^2 - 1}$.