Jika 3x^2=15x + 3y 2y^2=2x + 10y Maka akar(x^2 + y^2

6

Pembahasan

Kita diberikan dua persamaan:
1) 3x^2 = 15x + 3y
2) 2y^2 = 2x + 10y

Dari persamaan (1), kita bisa menyederhanakannya dengan membagi semua suku dengan 3:
x^2 = 5x + y
Sehingga, y = x^2 - 5x

Dari persamaan (2), kita bisa menyederhanakannya dengan membagi semua suku dengan 2:
y^2 = x + 5y

Sekarang, substitusikan nilai y dari persamaan yang disederhanakan (1) ke dalam persamaan yang disederhanakan (2):
(x^2 - 5x)^2 = x + 5(x^2 - 5x)
x^4 - 10x^3 + 25x^2 = x + 5x^2 - 25x
x^4 - 10x^3 + 25x^2 = 5x^2 - 24x

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
x^4 - 10x^3 + 20x^2 + 24x = 0

Faktorkan x:
x(x^3 - 10x^2 + 20x + 24) = 0

Salah satu solusi adalah x = 0. Jika x = 0, maka y = 0^2 - 5(0) = 0. Maka akar(0^2 + 0^2 + 12) = akar(12) = 2akar(3).

Kita perlu mencari akar lain dari polinomial.
Mari kita coba mencari nilai x yang memenuhi x^3 - 10x^2 + 20x + 24 = 0. Dengan mencoba faktor dari 24 (misalnya, 2, 4, 6), kita bisa menemukan akar.
Jika x = 6:
6^3 - 10(6^2) + 20(6) + 24 = 216 - 10(36) + 120 + 24 = 216 - 360 + 120 + 24 = 360 - 360 = 0.
Jadi, x = 6 adalah akar.

Jika x = 6, maka y = 6^2 - 5(6) = 36 - 30 = 6.
Untuk pasangan (x, y) = (6, 6), kita hitung akar(x^2 + y^2 + 12) = akar(6^2 + 6^2 + 12) = akar(36 + 36 + 12) = akar(84) = 2akar(21).

Ada kemungkinan nilai x dan y lain. Mari kita coba mencari akar lain dari x^3 - 10x^2 + 20x + 24 = 0 dengan membagi dengan (x-6).
(x^3 - 10x^2 + 20x + 24) / (x - 6) = x^2 - 4x - 4.

Sekarang cari akar dari x^2 - 4x - 4 = 0 menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4(1)(-4))] / 2(1)
x = [4 ± sqrt(16 + 16)] / 2
x = [4 ± sqrt(32)] / 2
x = [4 ± 4akar(2)] / 2
x = 2 ± 2akar(2)

Jika x = 2 + 2akar(2):
y = (2 + 2akar(2))^2 - 5(2 + 2akar(2))
y = (4 + 8akar(2) + 8) - (10 + 10akar(2))
y = 12 + 8akar(2) - 10 - 10akar(2)
y = 2 - 2akar(2)

Untuk pasangan (x, y) = (2 + 2akar(2), 2 - 2akar(2)), kita hitung:
x^2 = (2 + 2akar(2))^2 = 4 + 8akar(2) + 8 = 12 + 8akar(2)
y^2 = (2 - 2akar(2))^2 = 4 - 8akar(2) + 8 = 12 - 8akar(2)
x^2 + y^2 + 12 = (12 + 8akar(2)) + (12 - 8akar(2)) + 12 = 24 + 12 = 36.
akar(x^2 + y^2 + 12) = akar(36) = 6.

Jika x = 2 - 2akar(2):
y = (2 - 2akar(2))^2 - 5(2 - 2akar(2))
y = (4 - 8akar(2) + 8) - (10 - 10akar(2))
y = 12 - 8akar(2) - 10 + 10akar(2)
y = 2 + 2akar(2)

Untuk pasangan (x, y) = (2 - 2akar(2), 2 + 2akar(2)), kita hitung:
x^2 = (2 - 2akar(2))^2 = 12 - 8akar(2)
y^2 = (2 + 2akar(2))^2 = 12 + 8akar(2)
x^2 + y^2 + 12 = (12 - 8akar(2)) + (12 + 8akar(2)) + 12 = 24 + 12 = 36.
akar(x^2 + y^2 + 12) = akar(36) = 6.

Jadi, nilai akar(x^2 + y^2 + 12) adalah 6.