Jika (4 1 3 a)(-1 a 2a+b 7)=(1 15 7 20), nilai b adalah . .

1

Pembahasan

Diberikan kesamaan dua matriks:
$( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & a \end{pmatrix} ) \cdot ( \begin{pmatrix} -1 & a \\ 2a+b & 7 \end{pmatrix} ) = ( \begin{pmatrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{pmatrix} )$.

Langkah pertama adalah melakukan perkalian matriks pada sisi kiri.
Perkalian matriks $( \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix} ) \cdot ( \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} ) = ( \begin{pmatrix} pt+qv & pu+qw \\ rt+sv & ru+sw \end{pmatrix} )$.

Menerapkan ini pada matriks yang diberikan:
Elemen baris 1, kolom 1: $(4)(-1) + (1)(2a+b) = -4 + 2a + b$
Elemen baris 1, kolom 2: $(4)(a) + (1)(7) = 4a + 7$
Elemen baris 2, kolom 1: $(3)(-1) + (a)(2a+b) = -3 + 2a^2 + ab$
Elemen baris 2, kolom 2: $(3)(a) + (a)(7) = 3a + 7a = 10a$

Hasil perkalian matriksnya adalah:
$( \begin{pmatrix} -4 + 2a + b & 4a + 7 \\ -3 + 2a^2 + ab & 10a \end{pmatrix} )$.

Sekarang, kita samakan hasil ini dengan matriks di sisi kanan:
$( \begin{pmatrix} -4 + 2a + b & 4a + 7 \\ -3 + 2a^2 + ab & 10a \end{pmatrix} ) = ( \begin{pmatrix} 1 & 15 \\ 7 & 20 \end{pmatrix} )$.

Dari kesamaan elemen matriks, kita dapat membentuk beberapa persamaan:
1. $-4 + 2a + b = 1$
2. $4a + 7 = 15$
3. $-3 + 2a^2 + ab = 7$
4. $10a = 20$

Kita bisa menyelesaikan persamaan ini untuk menemukan nilai $a$ dan $b$.
Dari persamaan (4): $10a = 20 \implies a = 20/10 \implies a = 2$.

Sekarang, kita bisa verifikasi nilai $a=2$ menggunakan persamaan (2):
$4a + 7 = 4(2) + 7 = 8 + 7 = 15$. Ini konsisten.

Selanjutnya, gunakan nilai $a=2$ pada persamaan (1) untuk mencari nilai $b$:
$-4 + 2a + b = 1$
$-4 + 2(2) + b = 1$
$-4 + 4 + b = 1$
$0 + b = 1$
$b = 1$

Untuk memastikan, kita bisa cek dengan persamaan (3), meskipun tidak diperlukan untuk mencari $b$:
$-3 + 2a^2 + ab = 7$
$-3 + 2(2)^2 + (2)(1) = 7$
$-3 + 2(4) + 2 = 7$
$-3 + 8 + 2 = 7$
$5 + 2 = 7$
$7 = 7$. Ini juga konsisten.

Jadi, nilai $b$ adalah 1.