Jika A=(-1 -1 0 -1 1 2), B =(-1 x 1 y 0 z) dan (AB)^-1= (-1

3

Pembahasan

Misalkan matriks A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} dan matriks B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \end{pmatrix}.
Maka AB = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-1)(1) & (-1)(x)+(-1)(y) \\ (0)(-1)+(-1)(1) & (0)(x)+(-1)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ -1 & -y \end{pmatrix}.
Diketahui (AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}.
Rumus invers matriks 2x2 \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} adalah \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
Untuk matriks AB, determinannya adalah $0(-y) - (-x-y)(-1) = 0 - (x+y) = -(x+y)$.
Maka (AB)^-1 = \frac{1}{-(x+y)} \begin{pmatrix} -y & x+y \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y}{x+y} & \frac{-(x+y)}{x+y} \\ \frac{-1}{x+y} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y}{x+y} & -1 \\ \frac{-1}{x+y} & 0 \end{pmatrix}.
Dari kesamaan matriks (AB)^-1 yang diberikan dan yang dihitung, kita dapatkan:
\frac{y}{x+y} = -1 \implies y = -x-y \implies 2y = -x
-1 = 1/2 (salah)

Mari kita gunakan informasi dari soal secara langsung.
Misal AB = C = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}. Maka C^-1 = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
Kita punya AB = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ -1 & -y \end{pmatrix}.
Kita punya (AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}.
Karena (AB)(AB)^-1 = I (matriks identitas),
maka \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ -1 & -y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Perhitungan perkalian matriks AB dengan (AB)^-1:
Baris 1, Kolom 1: (0)(-1) + (-x-y)(1/2) = 1
- (x+y)/2 = 1
x+y = -2

Baris 1, Kolom 2: (0)(1/2) + (-x-y)(0) = 0
0 = 0 (informasi ini tidak membantu)

Baris 2, Kolom 1: (-1)(-1) + (-y)(1/2) = 0
1 - y/2 = 0
y/2 = 1
y = 2.

Substitusi y=2 ke x+y = -2:
x + 2 = -2
x = -4.

Nilai z tidak diketahui dari matriks A dan B yang diberikan. Namun, jika kita mengasumsikan matriks A dan B adalah matriks 2x2, maka z tidak relevan. Jika matriks A adalah \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix} dan B adalah \begin{pmatrix} -1 & x & 1 \\ y & 0 & z \end{pmatrix}, maka perkalian AB tidak terdefinisi. 

Asumsi bahwa A dan B adalah matriks 2x2, dan Z di matriks B adalah variabel yang perlu dicari.
Jika kita perhatikan elemen (1,2) dari (AB)^-1 adalah 1/2, dan elemen (2,1) adalah 1/2.
Dari AB = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ -1 & -y \end{pmatrix},
Determinan AB = $0(-y) - (-x-y)(-1) = -(x+y)$.
(AB)^-1 = $\frac{1}{-(x+y)} \begin{pmatrix} -y & -(-x-y) \\ -(-1) & 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{-(x+y)} \begin{pmatrix} -y & x+y \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y}{x+y} & -1 \\ \frac{-1}{x+y} & 0 \end{pmatrix}$.

Dengan membandingkan hasil ini dengan (AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}, kita mendapatkan:
$rac{y}{x+y} = -1 
=> y = -x - y
=> 2y = -x$

$-1 = 1/2$ (ini kontradiksi, artinya ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soalnya sendiri)

Mari kita coba mengalikan matriks A dan B yang diberikan dalam format baris-vektor. Ini biasanya tidak dilakukan untuk perkalian matriks standar.
Jika A dan B adalah matriks 2x3 dan 3x2, perkalian AB akan menghasilkan matriks 2x2.
Asumsi A adalah matriks 2x3: A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Asumsi B adalah matriks 3x2: B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(-1)(1)+(0)(0) & (-1)(x)+(-1)(y)+(0)(z) \\ (-1)(-1)+(1)(1)+(2)(0) & (-1)(x)+(1)(y)+(2)(z) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1+0 & -x-y \\ 1+1+0 & -x+y+2z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix}.

Diketahui (AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}.
Determinan AB = $0(-x+y+2z) - (-x-y)(2) = 2(x+y)$.
(AB)^-1 = $\frac{1}{2(x+y)} \begin{pmatrix} -x+y+2z & -(-x-y) \\ -(2) & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-x+y+2z}{2(x+y)} & \frac{x+y}{2(x+y)} \\ \frac{-2}{2(x+y)} & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-x+y+2z}{2(x+y)} & 1/2 \\ \frac{-1}{x+y} & 0 \end{pmatrix}$.

Dengan membandingkan dengan (AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}:

Elemen (1,2): $1/2 = 1/2$ (konsisten).

Elemen (2,2): $0 = 0$ (konsisten).

Elemen (2,1): $\frac{-1}{x+y} = 1/2
=> -2 = x+y$.

Elemen (1,1): $\frac{-x+y+2z}{2(x+y)} = -1$.
Substitusi $x+y = -2$:
$\frac{-x+y+2z}{2(-2)} = -1
\frac{-x+y+2z}{-4} = -1
-x+y+2z = 4$.

Kita memiliki dua persamaan:
1) $x+y = -2$
2) $-x+y+2z = 4$

Kita perlu mencari nilai z - x. Dari persamaan (1), $x = -2 - y$.
Substitusi x ke persamaan (2):
$-(-2-y) + y + 2z = 4$
$2+y+y+2z = 4$
$2+2y+2z = 4$
$2y+2z = 2$
$y+z = 1$.

Kita masih punya satu variabel lagi yang tidak diketahui (y). Perlu ada informasi tambahan atau interpretasi ulang soal.

Jika kita kembali ke asumsi matriks 2x2 dan ada kesalahan penulisan di soal:
Asumsi A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Asumsi B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \end{pmatrix}.
AB = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ -1 & -y \end{pmatrix}.
(AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}.

Dari elemen (2,2) dari (AB)^-1, kita tahu bahwa $\frac{a}{ad-bc} = 0$. Ini berarti $a=0$. Namun, elemen 'a' di (AB)^-1 yang dihitung adalah 0, yang konsisten.

Perhatikan elemen (1,2) dari (AB)^-1 yang dihitung: $\frac{-(x+y)}{-(x+y)} = -1$. Tetapi di soal diberikan 1/2. Ini adalah kontradiksi.

Mari kita coba interpretasi lain dari A=(-1 -1 0 -1 1 2) dan B =(-1 x 1 y 0 z). Kemungkinan ini adalah representasi baris dari matriks yang lebih besar atau vektor.
Jika ini adalah matriks 2x3 untuk A dan matriks 3x2 untuk B:
A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} -1 & x \\ 1 & y \\ 0 & z \end{pmatrix}
AB = \begin{pmatrix} 0 & -x-y \\ 2 & -x+y+2z \end{pmatrix}
(AB)^-1 = \begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ 1/2 & 0 \end{pmatrix}

Dari perhitungan sebelumnya:
$x+y = -2$
$-x+y+2z = 4$

Kita perlu mencari $z-x$.
Dari $x+y=-2$, kita punya $y = -2-x$.
Substitusi y ke persamaan kedua:
$-x + (-2-x) + 2z = 4$
$-2x - 2 + 2z = 4$
$-2x + 2z = 6$
$z - x = 3$.

Ini memberikan nilai $z-x = 3$.