Jika A=(1 4 2 3) dan I=(1 0 0 1) memenuhi persamaan

-1

Pembahasan

Diberikan persamaan matriks $A^2 = pA + qI$, dengan:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Langkah 1: Hitung $A^2$.
$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix} (1 \times 1 + 4 \times 2) & (1 \times 4 + 4 \times 3) \\ (2 \times 1 + 3 \times 2) & (2 \times 4 + 3 \times 3) \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix} (1 + 8) & (4 + 12) \\ (2 + 6) & (8 + 9) \end{pmatrix}$
$A^2 = \begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix}$

Langkah 2: Hitung $pA$.
$pA = p \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & 4p \\ 2p & 3p \end{pmatrix}$

Langkah 3: Hitung $qI$.
$qI = q \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$

Langkah 4: Substitusikan ke dalam persamaan $A^2 = pA + qI$.
$\begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & 4p \\ 2p & 3p \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} q & 0 \\ 0 & q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p+q & 4p \\ 2p & 3p+q \end{pmatrix}$

Langkah 5: Samakan elemen-elemen matriks yang bersesuaian untuk mendapatkan sistem persamaan linear.
Dari elemen baris 1 kolom 2: $16 = 4p \implies p = 16 / 4 = 4$.
Dari elemen baris 2 kolom 1: $8 = 2p \implies p = 8 / 2 = 4$.
Nilai $p=4$ konsisten dari kedua persamaan.

Sekarang kita gunakan nilai $p=4$ untuk mencari $q$ menggunakan elemen baris 1 kolom 1 atau baris 2 kolom 2.
Dari elemen baris 1 kolom 1: $9 = p + q \implies 9 = 4 + q \implies q = 9 - 4 = 5$.
Dari elemen baris 2 kolom 2: $17 = 3p + q \implies 17 = 3(4) + q \implies 17 = 12 + q \implies q = 17 - 12 = 5$.
Nilai $q=5$ juga konsisten.

Langkah 6: Hitung $p-q$.
$p-q = 4 - 5 = -1$