Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan menggunakan dua

Nilai limit fungsi tersebut adalah 4x.

Pembahasan

Kita diminta untuk menentukan nilai limit dari fungsi f(x) = 3x^2 dengan menggunakan dua atau lebih metode penyelesaian untuk lim x->0 (f(x+4h)-f(x+2h)) /3h.

Metode 1: Menggunakan Definisi Turunan (Pendekatan)
Perhatikan bahwa bentuk limit ini mirip dengan definisi turunan, yaitu f'(x) = lim h->0 (f(x+h)-f(x))/h.
Namun, di sini kita memiliki f(x+4h) dan f(x+2h), serta pembagian dengan 3h.
Mari kita manipulasi ekspresi di dalam limit:
(f(x+4h) - f(x+2h)) / 3h
Substitusikan f(x) = 3x^2:

f(x+4h) = 3(x+4h)^2 = 3(x^2 + 8xh + 16h^2) = 3x^2 + 24xh + 48h^2
f(x+2h) = 3(x+2h)^2 = 3(x^2 + 4xh + 4h^2) = 3x^2 + 12xh + 12h^2

Sekarang, hitung selisihnya:
f(x+4h) - f(x+2h) = (3x^2 + 24xh + 48h^2) - (3x^2 + 12xh + 12h^2)
= 3x^2 + 24xh + 48h^2 - 3x^2 - 12xh - 12h^2
= (24xh - 12xh) + (48h^2 - 12h^2)
= 12xh + 36h^2

Sekarang masukkan kembali ke dalam ekspresi limit:
lim h->0 (12xh + 36h^2) / 3h

Kita bisa memfaktorkan 'h' dari pembilang:
lim h->0 h(12x + 36h) / 3h

Batalkan 'h' dari pembilang dan penyebut (karena h -> 0, h tidak sama dengan 0):
lim h->0 (12x + 36h) / 3

Sekarang substitusikan h = 0:
(12x + 36*0) / 3
= 12x / 3
= 4x

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (jika bentuknya 0/0 atau tak terhingga/tak terhingga)
Perhatikan bahwa ketika h -> 0, baik pembilang (12xh + 36h^2) maupun penyebut (3h) akan mendekati 0. Jadi, ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim h->c f(h)/g(h) adalah bentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim h->c f'(h)/g'(h), di mana f'(h) dan g'(h) adalah turunan dari f(h) dan g(h) terhadap h.

Dalam kasus kita, f(h) = 12xh + 36h^2 dan g(h) = 3h.

Turunan f(h) terhadap h (dengan x dianggap konstan):
f'(h) = d/dh (12xh + 36h^2) = 12x + 72h

Turunan g(h) terhadap h:
g'(h) = d/dh (3h) = 3

Sekarang terapkan Aturan L'Hopital:
lim h->0 (12x + 72h) / 3

Substitusikan h = 0:
(12x + 72*0) / 3
= 12x / 3
= 4x

Perbandingan Jawaban:
Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu 4x. Ini menunjukkan konsistensi dalam perhitungan limit.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 4x.