Jika A, B, C adalah sudut-sudut sebuah segitiga, buktikan

Terbukti bahwa $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$ menggunakan sifat jumlah sudut segitiga dan identitas trigonometri.

Pembahasan

Untuk membuktikan $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$, kita gunakan sifat segitiga siku-siku dan identitas trigonometri. Dalam segitiga ABC, jumlah sudut adalah $A+B+C = 180^\circ$. Maka, $A+B = 180^\circ - C$. Membagi kedua sisi dengan 2, kita dapatkan $\frac{A+B}{2} = \frac{180^\circ - C}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$. Menggunakan identitas trigonometri $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, kita substitusikan $x = \frac{C}{2}$. Maka, $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(90^\circ - \frac{C}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.\n\n**Langkah-langkah Pembuktian:**\n1. **Jumlah Sudut Segitiga:** Dalam segitiga ABC, jumlah ketiga sudutnya adalah 180 derajat: $A + B + C = 180^\circ$.\n2. **Manipulasi Aljabar:** Dari persamaan di atas, kita dapatkan $A + B = 180^\circ - C$.\n3. **Bagi Dua:** Bagi kedua sisi persamaan dengan 2: $\frac{A+B}{2} = \frac{180^\circ - C}{2} = 90^\circ - \frac{C}{2}$.\n4. **Gunakan Identitas Trigonometri:** Gunakan identitas $\sin(90^\circ - \theta) = \cos(\theta)$. Dalam kasus ini, $\theta = \frac{C}{2}$.\n5. **Substitusi:** Substitusikan hasil dari langkah 3 ke dalam identitas trigonometri: $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \sin \left(90^\circ - \frac{C}{2}\right)$.\n6. **Hasil Akhir:** Menggunakan identitas, kita peroleh $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$.\n\nDengan demikian, terbukti bahwa $\sin \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cos \left(\frac{C}{2}\right)$ untuk setiap segitiga ABC.