sin 3x/sin x+cos 3x/cos x=...

4 cos 2x

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi \(\frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{\cos 3x}{\cos x}\), kita dapat menyamakan penyebutnya terlebih dahulu:

\[ \frac{\sin 3x}{\sin x} + \frac{\cos 3x}{\cos x} = \frac{\sin 3x \cos x + \cos 3x \sin x}{\sin x \cos x} \]

Menggunakan identitas \(\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\), pembilangnya menjadi \(\sin(3x+x) = \sin 4x\).

Maka, ekspresi tersebut menjadi:

\[ \frac{\sin 4x}{\sin x \cos x} \]

Kita juga tahu bahwa \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), sehingga \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\).

Jadi, ekspresi tersebut dapat ditulis ulang sebagai:

\[ \frac{\sin 4x}{\frac{1}{2} \sin 2x} = \frac{2 \sin 4x}{\sin 2x} \]

Menggunakan identitas \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\), kita dapat menulis \(\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x\).

Maka, ekspresi akhirnya menjadi:

\[ \frac{2 (2 \sin 2x \cos 2x)}{\sin 2x} = 4 \cos 2x \]