Jika (a+b) dan (a-b) saling tegak lurus dan|a+b|=akar(3)

Besar sudut antara vektor a dan b adalah 60 derajat.

Pembahasan

Diberikan dua vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$. Diketahui bahwa vektor $(\mathbf{a}+\mathbf{b})$ dan $(\mathbf{a}-\mathbf{b})$ saling tegak lurus. Ini berarti hasil kali titik (dot product) dari kedua vektor tersebut adalah nol:
$(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b}) = 0$

Menggunakan sifat distributif hasil kali titik:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = 0$

Karena hasil kali titik bersifat komutatif ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$) dan $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$, serta $\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{b}|^2$, persamaan menjadi:
$|\mathbf{a}|^2 - |\mathbf{b}|^2 = 0$
$|\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{b}|^2$
$|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}|$
Ini berarti panjang vektor $\mathbf{a}$ sama dengan panjang vektor $\mathbf{b}$.

Selanjutnya, diberikan informasi bahwa $|\mathbf{a}+\mathbf{b}| = \sqrt{3} |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$.
Kita tahu bahwa:
$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + |\mathbf{b}|^2$
$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + |\mathbf{b}|^2$

Substitusikan $|\mathbf{a}|^2 = |\mathbf{b}|^2$ ke dalam kedua persamaan tersebut:
$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + |\mathbf{a}|^2 = 2|\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
$|\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) + |\mathbf{a}|^2 = 2|\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

Sekarang gunakan persamaan $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = 3 |\mathbf{a}-\mathbf{b}|^2$ (karena $|X| = 	ext{akar}(Y) 
ightarrow |X|^2 = Y$):
$2|\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 3 (2|\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}))$
$2|\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 6|\mathbf{a}|^2 - 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$0 = 6|\mathbf{a}|^2 - 2|\mathbf{a}|^2 - 6(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) - 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
$0 = 4|\mathbf{a}|^2 - 8(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

$8(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = 4|\mathbf{a}|^2$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{4|\mathbf{a}|^2}{8} = \frac{1}{2}|\mathbf{a}|^2$

Kita tahu bahwa hasil kali titik dua vektor juga dapat dinyatakan sebagai $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$, di mana $\theta$ adalah sudut antara vektor $\mathbf{a}$ dan $\mathbf{b}$.
Karena $|\mathbf{a}| = |\mathbf{b}|$, kita bisa tulis:
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{a}| \cos \theta = |\mathbf{a}|^2 \cos \theta$

Sekarang samakan kedua ekspresi untuk $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$:
$|\mathbf{a}|^2 \cos \theta = \frac{1}{2}|\mathbf{a}|^2$

Asumsikan $|\mathbf{a}| \neq 0$ (jika $|\mathbf{a}| = 0$, maka kedua vektor adalah vektor nol dan sudutnya tidak terdefinisi atau bisa dianggap 0). Kita bisa membagi kedua sisi dengan $|\mathbf{a}|^2$:
$\cos \theta = \frac{1}{2}$

Mencari sudut $\theta$ ketika $\cos \theta = \frac{1}{2}$:
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)$
$\theta = 60^{\circ}$

Jadi, besar sudut antara vektor $\mathbf{a}$ dan vektor $\mathbf{b}$ adalah $60^{\circ}$.