Jika a dan b adalah akar-akar persamaan kuadrat x^2- X-3

Persamaan kuadratnya adalah x^2 - 9x + 17 = 0.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan kuadrat x^2 - x - 3 = 0, dengan akar-akar a dan b.
Menurut Vieta's formulas:
Jumlah akar: a + b = -(-1)/1 = 1
Perkalian akar: ab = -3/1 = -3

Kita perlu mencari persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah (a^2 - 2a + 2) dan (b^2 - 2b + 2).

Misalkan akar-akar baru adalah P dan Q:
P = a^2 - 2a + 2
Q = b^2 - 2b + 2

Kita perlu mencari P + Q dan PQ.

Untuk mencari P + Q:
P + Q = (a^2 - 2a + 2) + (b^2 - 2b + 2)
P + Q = a^2 + b^2 - 2(a + b) + 4

Kita tahu bahwa a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab.
Substitusikan nilai a + b = 1 dan ab = -3:
a^2 + b^2 = (1)^2 - 2(-3) = 1 + 6 = 7

Jadi, P + Q = 7 - 2(1) + 4 = 7 - 2 + 4 = 9.

Untuk mencari PQ:
PQ = (a^2 - 2a + 2)(b^2 - 2b + 2)
Ini akan menjadi perhitungan yang cukup rumit. Mari kita coba pendekatan lain. Perhatikan bahwa dari persamaan awal, a^2 - a - 3 = 0, sehingga a^2 = a + 3.
Demikian pula, b^2 = b + 3.

Maka, P = (a + 3) - 2a + 2 = -a + 5
Dan, Q = (b + 3) - 2b + 2 = -b + 5

Sekarang, mari kita hitung P + Q dan PQ dengan bentuk yang lebih sederhana:
P + Q = (-a + 5) + (-b + 5) = -(a + b) + 10
P + Q = -(1) + 10 = 9 (Ini konsisten dengan hasil sebelumnya).

PQ = (-a + 5)(-b + 5)
PQ = ab - 5a - 5b + 25
PQ = ab - 5(a + b) + 25
Substitusikan nilai ab = -3 dan a + b = 1:
PQ = (-3) - 5(1) + 25
PQ = -3 - 5 + 25
PQ = 17

Persamaan kuadrat baru dengan akar P dan Q adalah: x^2 - (P + Q)x + PQ = 0
x^2 - 9x + 17 = 0

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya (a^2 - 2a + 2) dan (b^2 - 2b + 2) adalah x^2 - 9x + 17 = 0.