Tentukan koordinat titik pusat; titik fokus, titik puncak,

Titik pusat (2,0), fokus (4,0) & (0,0), puncak (2±√5,0), sumbu mayor 2√5, sumbu minor 2.

Pembahasan

Untuk menentukan koordinat titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari elips dengan persamaan x^2+5y^2-4x-1=0, kita perlu mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk standar elips.

Langkah 1: Kelompokkan suku-suku x dan y.
(x^2 - 4x) + 5y^2 = 1

Langkah 2: Sempurnakan kuadrat untuk suku x.
(x^2 - 4x + 4) + 5y^2 = 1 + 4
(x - 2)^2 + 5y^2 = 5

Langkah 3: Bagi kedua sisi dengan 5 untuk mendapatkan bentuk standar elips.
(x - 2)^2 / 5 + y^2 / 1 = 1

Bandingkan dengan bentuk standar elips:
(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1 (jika sumbu mayor horizontal)
atau
(x-h)^2/b^2 + (y-k)^2/a^2 = 1 (jika sumbu mayor vertikal)

Dari persamaan (x - 2)^2 / 5 + y^2 / 1 = 1:
Titik pusat (h, k) = (2, 0)
a^2 = 5 => a = sqrt(5)
b^2 = 1 => b = 1

Karena a^2 > b^2, sumbu mayor adalah horizontal.

Titik puncak: (h ± a, k) = (2 ± sqrt(5), 0)
Titik puncak 1: (2 + sqrt(5), 0)
Titik puncak 2: (2 - sqrt(5), 0)

Panjang sumbu mayor: 2a = 2 * sqrt(5)

Untuk mencari titik fokus, kita perlu nilai c, di mana c^2 = a^2 - b^2.
c^2 = 5 - 1 = 4
c = 2

Titik fokus: (h ± c, k) = (2 ± 2, 0)
Titik fokus 1: (4, 0)
Titik fokus 2: (0, 0)

Panjang sumbu minor: 2b = 2 * 1 = 2

Jadi:
Titik pusat: (2, 0)
Titik fokus: (4, 0) dan (0, 0)
Titik puncak: (2 + sqrt(5), 0) dan (2 - sqrt(5), 0)
Panjang sumbu mayor: 2 * sqrt(5)
Panjang sumbu minor: 2