Seorang penjahit akan membuat dua model pakaian: Ia

Maksimum 20 pakaian dapat dibuat.

Pembahasan

Misalkan jumlah model A yang dibuat adalah x dan jumlah model B yang dibuat adalah y.

Kendala:
1. Kain batik: 1x + 2y ≤ 40
2. Kain polos: 1.5x + 1.5y ≤ 30  => x + y ≤ 20
3. Jumlah pakaian tidak negatif: x ≥ 0, y ≥ 0

Kita ingin memaksimalkan jumlah pakaian, yaitu Z = x + y.

Untuk mencari nilai maksimum, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala tersebut.

Titik potong kendala:
Dari x + y = 20 => y = 20 - x
Substitusikan ke kendala kain batik:
1x + 2(20 - x) ≤ 40
x + 40 - 2x ≤ 40
-x ≤ 0
x ≥ 0

Jika x = 0, maka y = 20. Titik (0, 20).
Jika y = 0, maka x = 20. Titik (20, 0).

Titik potong antara 1x + 2y = 40 dan x + y = 20:
Kalikan persamaan kedua dengan 2:
2x + 2y = 40
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan ini:
(2x + 2y) - (x + 2y) = 40 - 40
x = 0
Jika x = 0, maka y = 20.

Titik potong lainnya adalah:
Jika x = 0 pada 1x + 2y = 40, maka 2y = 40 => y = 20. Titik (0, 20).
Jika y = 0 pada x + y = 20, maka x = 20. Titik (20, 0).

Titik-titik pojok:
1. (0, 0): Z = 0 + 0 = 0
2. (20, 0): Z = 20 + 0 = 20
3. (0, 20): Z = 0 + 20 = 20

Namun, kita perlu memeriksa kembali kendala kain batik 1x + 2y ≤ 40.
Jika (20, 0): 1(20) + 2(0) = 20 ≤ 40 (Memenuhi)
Jika (0, 20): 1(0) + 2(20) = 40 ≤ 40 (Memenuhi)

Mari kita cari titik potong sebenarnya dari kedua garis kendala:
1) x + 2y = 40
2) x + y = 20

Kurangi (2) dari (1):
(x + 2y) - (x + y) = 40 - 20
y = 20

Substitusikan y = 20 ke (2):
x + 20 = 20
x = 0

Jadi, titik potongnya adalah (0, 20).

Mari kita periksa kendala kain polos untuk titik (0, 20): 1.5(0) + 1.5(20) = 30 ≤ 30. Memenuhi.

Titik-titik pojok yang valid adalah:
- (0, 0): Z = 0
- (20, 0): Z = 20
- (0, 20): Z = 20

Perlu dicek kembali asumsi pemotongan garis. Perhatikan bahwa persediaan kain polos adalah 30 meter, dan model B memerlukan 1.5 meter kain polos, sedangkan model A memerlukan 1.5 meter kain polos. Ini berarti total kain polos yang digunakan adalah 1.5(x+y). Jadi, 1.5(x+y) <= 30, atau x+y <= 20.

Perhatikan kendala kain batik: x + 2y <= 40.

Kita perlu mencari titik potong antara x + 2y = 40 dan x + y = 20.
Dari x + y = 20, kita dapatkan x = 20 - y.
Substitusikan ke x + 2y = 40:
(20 - y) + 2y = 40
20 + y = 40
y = 20

Maka x = 20 - 20 = 0.
Titik potongnya adalah (0, 20).

Titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi adalah:
1. (0, 0) => Z = 0 + 0 = 0
2. (20, 0) => Z = 20 + 0 = 20 (Memenuhi x+2y <= 40 => 20 <= 40)
3. (0, 20) => Z = 0 + 20 = 20 (Memenuhi x+2y <= 40 => 40 <= 40)

Dalam kasus ini, nilai maksimum Z = 20 dapat dicapai pada titik (20, 0) atau (0, 20), atau kombinasi keduanya pada segmen garis yang menghubungkan kedua titik tersebut, asalkan memenuhi kedua kendala. Namun, kita perlu mencari banyak pakaian yang dapat dibuat SEMAKSIMUM MUNGKIN. Nilai maksimumnya adalah 20.

Kita perlu mencari titik di mana kedua kendala terpenuhi secara ketat atau salah satu terpenuhi dan yang lain kurang dari maksimumnya. Namun, karena fungsi tujuan adalah Z = x+y, dan kita mencari nilai maksimum, kita perlu menguji titik-titik pojok.

Titik pojok:
(0,0) -> Z=0
(20,0) -> Z=20 (memenuhi 20+0<=40 dan 20+0<=20)
(0,20) -> Z=20 (memenuhi 0+40<=40 dan 0+20<=20)

Jadi, jumlah maksimum pakaian yang dapat dibuat adalah 20.