Jika a dan b adalah bilangan prima dan semua akar x^2 = ax

Nilai ab^2 adalah 12.

Pembahasan

Diketahui persamaan kuadrat x^2 - ax - b = 0.
Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah x1 dan x2.
Menurut sifat akar-akar persamaan kuadrat:

1.  Jumlah akar: x1 + x2 = -(-a)/1 = a
2.  Hasil kali akar: x1 * x2 = -b/1 = -b

Diketahui bahwa a dan b adalah bilangan prima.
Juga diketahui bahwa kedua akar (x1 dan x2) adalah bilangan bulat positif.

Dari hasil kali akar, x1 * x2 = -b.
Karena x1 dan x2 adalah bilangan bulat positif, maka hasil kali mereka (x1 * x2) harus positif.
Namun, -b harus bernilai negatif karena b adalah bilangan prima (yang selalu positif).
Jadi, x1 * x2 = -b tidak mungkin bernilai positif.

Ini menunjukkan bahwa ada kemungkinan typo dalam soal, atau interpretasi dari "x^2 = ax + b" perlu diperjelas.

Jika persamaan yang dimaksud adalah x^2 - ax + b = 0:
1.  Jumlah akar: x1 + x2 = a
2.  Hasil kali akar: x1 * x2 = b

Karena a dan b adalah bilangan prima, dan x1, x2 adalah bilangan bulat positif:
Dari x1 + x2 = a, karena a adalah prima, maka salah satu akar harus 1 dan akar yang lain adalah a-1 (agar jumlahnya a). 
Contoh: jika a=5, maka akar bisa 1 dan 4 (1+4=5). Jika a=7, akar bisa 1 dan 6 (1+6=7).
Namun, ada kasus lain. Misalnya a=3, akar bisa 1 dan 2 (1+2=3). Tapi tidak bisa 1 dan 1 (1+1=2, bukan 3). Jadi salah satu akar harus 1, akar lainnya harus a-1.

Dari x1 * x2 = b, karena b adalah prima, maka salah satu akar harus 1 dan akar yang lain harus b.
Jadi, kita memiliki dua kondisi:
*   Salah satu akar adalah 1, akar lainnya adalah a-1.
*   Salah satu akar adalah 1, akar lainnya adalah b.

Agar kedua kondisi ini terpenuhi, maka akar-akarnya harus 1 dan b. Sehingga:
1 + b = a (dari jumlah akar)
1 * b = b (dari hasil kali akar)

Kita perlu mencari bilangan prima 'a' dan 'b' sedemikian rupa sehingga a = b + 1.
Satu-satunya pasangan bilangan prima yang selisihnya 1 adalah 2 dan 3.

Kasus 1: b = 2 (bilangan prima)
Maka a = b + 1 = 2 + 1 = 3. Angka 3 juga merupakan bilangan prima.
Dalam kasus ini, a = 3 dan b = 2.
Persamaan kuadratnya adalah x^2 - 3x + 2 = 0.
Akar-akarnya adalah (x-1)(x-2) = 0, sehingga x1 = 1 dan x2 = 2.
Kedua akar adalah bilangan bulat positif. a=3 dan b=2 adalah bilangan prima.
Kondisi terpenuhi.

Kasus 2: a = 2 (bilangan prima)
Maka b = a - 1 = 2 - 1 = 1. Angka 1 bukan bilangan prima.
Jadi, kasus ini tidak valid.

Satu-satunya solusi yang memenuhi adalah a = 3 dan b = 2.

Kita diminta untuk mencari nilai ab^2.
Nilai ab^2 = (3) * (2^2) = 3 * 4 = 12.

Jika persamaan yang dimaksud adalah x^2 = ax + b, yang merupakan x^2 - ax - b = 0, maka hasil kali akarnya adalah -b. Jika kedua akar positif, hasil kalinya harus positif, yang kontradiksi dengan -b (karena b prima, b>0, jadi -b<0).
Oleh karena itu, asumsi bahwa persamaan yang dimaksud adalah x^2 - ax + b = 0 adalah yang paling logis.