Jika a dan b adalah penyelesaian persamaan 2log (3x^2 5x +

-4/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal logaritma ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma.
Persamaan yang diberikan adalah 2log (3x² + 5x + 6) - 2log (3x + 1) = 2.
Pertama, kita bisa menyederhanakan persamaan dengan menggunakan sifat logaritma: log a - log b = log (a/b).
2 [ log (3x² + 5x + 6) - log (3x + 1) ] = 2
log (3x² + 5x + 6) - log (3x + 1) = 1.
Ini mengimplikasikan bahwa basis logaritmanya adalah 10, karena tidak disebutkan secara eksplisit.
log₁₀ ( (3x² + 5x + 6) / (3x + 1) ) = 1.
Dari definisi logaritma, jika log_b a = c, maka b^c = a.
Jadi, 10¹ = (3x² + 5x + 6) / (3x + 1).
10 = (3x² + 5x + 6) / (3x + 1).
Kalikan kedua sisi dengan (3x + 1):
10(3x + 1) = 3x² + 5x + 6
30x + 10 = 3x² + 5x + 6.
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
0 = 3x² + 5x - 30x + 6 - 10
0 = 3x² - 25x - 4.
Sekarang kita punya persamaan kuadrat 3x² - 25x - 4 = 0.
Kita perlu mencari akar-akar dari persamaan ini, yaitu a dan b. Kemudian kita akan mengalikan a * b.
Untuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, hasil kali akar-akarnya (a * b) adalah c/a.
Dalam kasus ini, a = 3, b = -25, dan c = -4.
Maka, hasil kali akar-akarnya (a * b) = c / a = -4 / 3.

Sebelum menyimpulkan, kita perlu memeriksa syarat agar logaritma terdefinisi:
1. 3x² + 5x + 6 > 0. Diskriminan = 5² - 4(3)(6) = 25 - 72 = -47. Karena koefisien x² positif dan diskriminan negatif, maka ekspresi ini selalu positif.
2. 3x + 1 > 0 => 3x > -1 => x > -1/3.

Mari kita cari akar-akarnya untuk memastikan bahwa mereka memenuhi syarat x > -1/3.
Menggunakan rumus kuadrat: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
x = [25 ± sqrt((-25)² - 4(3)(-4))] / (2*3)
x = [25 ± sqrt(625 + 48)] / 6
x = [25 ± sqrt(673)] / 6.
Jadi, akar-akarnya adalah:
a = (25 + sqrt(673)) / 6
b = (25 - sqrt(673)) / 6.
Kita perlu mengecek apakah kedua akar ini lebih besar dari -1/3.
sqrt(673) kira-kira antara sqrt(625)=25 dan sqrt(676)=26. Mari kita gunakan sekitar 25.9.
a ≈ (25 + 25.9) / 6 = 50.9 / 6 ≈ 8.48. Ini jelas > -1/3.
b ≈ (25 - 25.9) / 6 = -0.9 / 6 = -0.15. Ini juga > -1/3 (karena -0.15 > -0.333).
Jadi, kedua akar valid.
Hasil kali a * b adalah c/a = -4/3.