Jika A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah titik-titik ujung

Gradien PA = (y-y1)/(x-x1), Gradien PB = (y-y2)/(x-x2). Hasil kali gradien adalah -1, yang membuktikan persamaan lingkaran.

Pembahasan

Diketahui A($x_1$, $y_1$) dan B($x_2$, $y_2$) adalah titik-titik ujung diameter lingkaran. P(x, y) adalah suatu titik pada lingkaran tersebut.

**Gradien PA dan PB:**
Gradien garis yang menghubungkan dua titik $(x_a, y_a)$ dan $(x_b, y_b)$ diberikan oleh rumus $m = \frac{y_b - y_a}{x_b - x_a}$.

Gradien PA ($m_{PA}$) adalah gradien garis yang menghubungkan P(x, y) dan A($x_1$, $y_1$):
$m_{PA} = \frac{y - y_1}{x - x_1}$

Gradien PB ($m_{PB}$) adalah gradien garis yang menghubungkan P(x, y) dan B($x_2$, $y_2$):
$m_{PB} = \frac{y - y_2}{x - x_2}$

**Pembuktian Persamaan Lingkaran:**
Karena AB adalah diameter lingkaran dan P adalah titik pada lingkaran, maka sudut APB adalah sudut siku-siku (berdasarkan sifat sudut keliling yang menghadap diameter). Dua garis tegak lurus memiliki gradien yang hasil perkaliannya adalah -1.

Jadi, $m_{PA} \times m_{PB} = -1$.

Substitusikan rumus gradien yang telah kita temukan:
$(\frac{y - y_1}{x - x_1}) \times (\frac{y - y_2}{x - x_2}) = -1$

Kalikan kedua sisi dengan $(x - x_1)(x - x_2)$ untuk menghilangkan penyebut (dengan asumsi $x \neq x_1$ dan $x \neq x_2$; kasus khusus ini dapat ditangani secara terpisah):
$(y - y_1)(y - y_2) = -1 \times (x - x_1)(x - x_2)$

Pindahkan $-1 \times (x - x_1)(x - x_2)$ ke sisi kiri:
$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$

Ini adalah persamaan lingkaran dengan AB sebagai diameter.