Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathTrigonometri

Jika (akar(2 cos 2x+2)(akar(1+4 cos 2x)=3 untuk 0<x<2pi,

Pertanyaan

Jika $\sqrt{2 \cos 2x + 2} \sqrt{1 + 4 \cos 2x} = 3$ untuk $0 < x < 2\pi$, $\cos 2x \neq \frac{1}{4}\pi$, maka jumlah nilai $x$ yang memenuhi adalah . . . .

Solusi

Verified

$4\pi$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sqrt{2 \cos 2x + 2} \sqrt{1 + 4 \cos 2x} = 3$, kita kuadratkan kedua sisi persamaan: $(2 \cos 2x + 2)(1 + 4 \cos 2x) = 9$ $2 \cos 2x + 8 \cos^2 2x + 2 + 8 \cos 2x = 9$ $8 \cos^2 2x + 10 \cos 2x - 7 = 0$ Misalkan $y = \cos 2x$. Maka persamaannya menjadi $8y^2 + 10y - 7 = 0$. Menggunakan rumus kuadrat, $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, dengan $a=8$, $b=10$, $c=-7$: $y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(8)(-7)}}{2(8)}$ $y = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 224}}{16}$ $y = \frac{-10 \pm \sqrt{324}}{16}$ $y = \frac{-10 \pm 18}{16}$ Ada dua kemungkinan nilai $y$: $y_1 = \frac{-10 + 18}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ dan $y_2 = \frac{-10 - 18}{16} = \frac{-28}{16} = -\frac{7}{4}$. Karena nilai $\cos 2x$ harus berada di antara -1 dan 1, maka $y = \cos 2x = -\frac{7}{4}$ tidak memenuhi. Jadi, kita hanya mempertimbangkan $\cos 2x = \frac{1}{2}$. Untuk $0 < x < 2\pi$, maka $0 < 2x < 4\pi$. Sudut di mana $\cos 2x = \frac{1}{2}$ adalah $\frac{\pi}{3}$ dan $\frac{5\pi}{3}$ dalam satu putaran. Dalam rentang $0 < 2x < 4\pi$, nilai $2x$ yang memenuhi adalah: $\frac{\pi}{3}$, $\frac{5\pi}{3}$, $\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$, dan $\frac{5\pi}{3} + 2\pi = \frac{11\pi}{3}$. Jadi, nilai $x$ adalah: $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{7\pi}{6}$, dan $x = \frac{11\pi}{6}$. Jumlah nilai $x$ yang memenuhi adalah $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} = 4\pi$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Persamaan Trigonometri
Section: Persamaan Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?