Jika akar-akar persamaan x^2 - 45x - 8 = 0 adalah alpha dan

Nilai dari \alpha^(1/3) + \beta^(1/3) adalah 3.

Pembahasan

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah x^2 - 45x - 8 = 0. Akar-akarnya adalah \alpha dan \beta.
Menurut teorema Vieta:
Jumlah akar: \alpha + \beta = -(-45)/1 = 45
Perkalian akar: \alpha * \beta = -8/1 = -8

Kita diminta untuk mencari nilai dari \alpha^(1/3) + \beta^(1/3).
Misalkan P = \alpha^(1/3) + \beta^(1/3).
Jika kita pangkatkan tiga kedua sisi: P^3 = (\alpha^(1/3) + \beta^(1/3))^3

P^3 = (\alpha^(1/3))^3 + (\beta^(1/3))^3 + 3(\alpha^(1/3) \beta^(1/3))(\alpha^(1/3) + \beta^(1/3))
P^3 = \alpha + \beta + 3(\alpha \beta)^(1/3) (\alpha^(1/3) + \beta^(1/3))
P^3 = \alpha + \beta + 3(\alpha \beta)^(1/3) P

Substitusikan nilai \alpha + \beta = 45 dan \alpha \beta = -8:
P^3 = 45 + 3(-8)^(1/3) P
P^3 = 45 + 3(-2) P
P^3 = 45 - 6P

P^3 + 6P - 45 = 0

Kita perlu mencari akar real dari persamaan kubik ini. Dengan mencoba beberapa nilai integer, kita dapat menemukan bahwa P = 3 adalah salah satu akarnya:
(3)^3 + 6(3) - 45 = 27 + 18 - 45 = 45 - 45 = 0.

Karena P = 3 adalah akar, maka \alpha^(1/3) + \beta^(1/3) = 3.