Jika besar sudut antara vektor a=i+akar(2) j+xk dan

x = ±√5

Pembahasan

Diberikan dua vektor, a = i + √(2)j + xk dan b = i - √(2)j + xk. Sudut antara kedua vektor adalah π/3 radian.

Kita dapat menggunakan rumus dot product (hasil kali titik) untuk mencari nilai x.
Rumus dot product adalah: a ⋅ b = |a| |b| cos(θ), di mana θ adalah sudut antara vektor a dan b.

Pertama, hitung dot product a ⋅ b:
a ⋅ b = (1)(1) + (√(2))(-√(2)) + (x)(x)
a ⋅ b = 1 - 2 + x²
a ⋅ b = -1 + x²

Kedua, hitung magnitudo (panjang) dari vektor a dan b:
|a| = √(1² + (√2)² + x²) = √(1 + 2 + x²) = √(3 + x²)
|b| = √(1² + (-√2)² + x²) = √(1 + 2 + x²) = √(3 + x²)

Ketiga, masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus dot product:
-1 + x² = (√(3 + x²)) (√(3 + x²)) cos(π/3)
-1 + x² = (3 + x²) (1/2)

Sekarang, selesaikan persamaan untuk x:
2(-1 + x²) = 3 + x²
-2 + 2x² = 3 + x²

Pindahkan semua suku x² ke satu sisi dan konstanta ke sisi lain:
2x² - x² = 3 + 2
x² = 5

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
x = ±√5

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah √5 atau -√5.