Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y=x^2 dan
Pertanyaan
Jika daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y=x^2 dan garis y=a^2 dimana a =/= 0 diputar mengelilingi sumbu-X, volumenya sama dengan jika daerah itu diputar mengelilingi sumbu-Y, maka nilai a yang memenuhi adalah....
Solusi
Verified
a = 5/8
Pembahasan
Mari kita hitung volume kedua kasus tersebut. Kasus 1: Daerah diputar mengelilingi sumbu-X. Daerah dibatasi oleh sumbu-Y (x=0), kurva y=x^2, dan garis y=a^2. Ini membentuk sebuah cakram ketika diputar mengelilingi sumbu-X. Namun, kurva y=x^2 perlu diintegrasikan terhadap x. Batas x adalah dari 0 hingga a (karena y=a^2 dan y=x^2, maka x^2=a^2, sehingga x=a atau x=-a. Kita ambil x=a karena dibatasi sumbu-Y). Volume (Vx) dihitung menggunakan metode cakram: Vx = π ∫[dari 0 sampai a] (y_atas^2 - y_bawah^2) dx Di sini, y_atas adalah a^2 dan y_bawah adalah x^2. Vx = π ∫[dari 0 sampai a] ((a^2)^2 - (x^2)^2) dx Vx = π ∫[dari 0 sampai a] (a^4 - x^4) dx Vx = π [a^4x - (x^5)/5] [dari 0 sampai a] Vx = π ( (a^4*a - a^5/5) - (0) ) Vx = π (a^5 - a^5/5) = π (4a^5/5) Kasus 2: Daerah diputar mengelilingi sumbu-Y. Ketika diputar mengelilingi sumbu-Y, kita bisa menggunakan metode kulit tabung atau cakram dengan mengintegrasikan terhadap y. Menggunakan metode cakram dengan mengintegrasikan terhadap y: Batas y adalah dari 0 hingga a^2. Jari-jari cakram adalah x, di mana x = sqrt(y). Volume (Vy) dihitung: Vy = π ∫[dari 0 sampai a^2] x^2 dy Vy = π ∫[dari 0 sampai a^2] y dy Vy = π [y^2/2] [dari 0 sampai a^2] Vy = π ( (a^2)^2 / 2 - 0 ) Vy = π (a^4/2) *Koreksi: Perhitungan Vx di atas salah karena integrasi seharusnya terhadap y untuk metode cakram jika batasnya pada y. Mari kita gunakan metode kulit tabung untuk rotasi mengelilingi sumbu-Y agar konsisten dengan rotasi sumbu-X. Revisi Kasus 2: Metode Kulit Tabung (rotasi sumbu-Y) Radius kulit tabung = x Tinggi kulit tabung = a^2 - x^2 Keliling = 2πx Volume (Vy) = ∫[dari 0 sampai a] (2πx)(a^2 - x^2) dx Vy = 2π ∫[dari 0 sampai a] (a^2x - x^3) dx Vy = 2π [ (a^2x^2)/2 - x^4/4 ] [dari 0 sampai a] Vy = 2π [ (a^2*a^2)/2 - a^4/4 ] Vy = 2π [ a^4/2 - a^4/4 ] Vy = 2π [ a^4/4 ] = πa^4/2 *Perhitungan awal Vx benar jika batas integrasi adalah x. Vx = π ∫[dari 0 sampai a] (a^4 - x^4) dx = π [a^4x - x^5/5]_0^a = π(a^5 - a^5/5) = 4πa^5/5 Sekarang mari kita cek ulang soalnya. Daerah dibatasi sumbu-Y (x=0), kurva y=x^2, dan garis y=a^2. Ini berarti daerahnya berada di antara x=0 dan x=a (karena y=a^2 dan y=x^2). Rotasi mengelilingi sumbu-X: Kita gunakan metode cakram, di mana jari-jarinya adalah y. Namun, integrasinya harus terhadap x karena batasnya diberikan dalam x. Atau, kita perlu menyatakan x dalam y. x = sqrt(y). Batas y adalah dari 0 sampai a^2. Vx = π ∫[dari 0 sampai a^2] x^2 dy = π ∫[dari 0 sampai a^2] y dy = π [y^2/2]_0^{a^2} = π (a^4/2) Rotasi mengelilingi sumbu-Y: Kita gunakan metode kulit tabung. Radius = x Tinggi = a^2 - y = a^2 - x^2 Batas x adalah dari 0 sampai a. Vy = ∫[dari 0 sampai a] 2πx (a^2 - x^2) dx Vy = 2π ∫[dari 0 sampai a] (a^2x - x^3) dx Vy = 2π [a^2x^2/2 - x^4/4]_0^a Vy = 2π [a^2(a^2)/2 - a^4/4] Vy = 2π [a^4/2 - a^4/4] Vy = 2π [a^4/4] = πa^4/2 Dalam kasus ini, Vx = Vy = πa^4/2. Ini berarti nilai a yang memenuhi adalah semua nilai a ≠ 0. Namun, jika yang dimaksud adalah daerah antara y=x^2 dan y=a^2 diputar mengelilingi sumbu-X, dan daerah yang dibatasi sumbu-Y, kurva y=x^2, dan garis y=a^2 diputar mengelilingi sumbu-Y, maka perhitungannya akan berbeda. Mari kita asumsikan daerah yang dimaksud adalah daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu-Y (x=0), kurva y=x^2, dan garis y=a^2. Ini berarti x berjalan dari 0 hingga sqrt(y), dan y berjalan dari 0 hingga a^2. Rotasi mengelilingi sumbu-X (Vx): Menggunakan metode cakram: Vx = π ∫[dari 0 sampai a^2] (x_kanan^2 - x_kiri^2) dy Di sini, x_kanan adalah sqrt(y) dan x_kiri adalah 0 (karena dibatasi sumbu-Y). Vx = π ∫[dari 0 sampai a^2] (sqrt(y))^2 dy Vx = π ∫[dari 0 sampai a^2] y dy Vx = π [y^2/2]_0^{a^2} Vx = π ( (a^2)^2 / 2 ) = πa^4/2 Rotasi mengelilingi sumbu-Y (Vy): Menggunakan metode kulit tabung: Radius = x Tinggi = a^2 - y = a^2 - x^2 Batas x adalah dari 0 hingga a (karena y=a^2 dan y=x^2). Vy = ∫[dari 0 sampai a] 2πx (a^2 - x^2) dx Vy = 2π ∫[dari 0 sampai a] (a^2x - x^3) dx Vy = 2π [a^2x^2/2 - x^4/4]_0^a Vy = 2π [a^2(a^2)/2 - a^4/4] Vy = 2π [a^4/2 - a^4/4] Vy = 2π [a^4/4] = πa^4/2 Dalam kedua interpretasi ini, Vx = Vy = πa^4/2. Ini berarti nilai a yang memenuhi adalah semua nilai a ≠ 0. Mari kita coba interpretasi lain: Daerah yang dibatasi oleh sumbu-Y, kurva y=x^2, dan garis y=a^2. Ini berarti kita mengintegrasikan dari x=0 hingga x=a. Rotasi mengelilingi sumbu-X (Vx): Menggunakan metode cakram, dengan batas x dari 0 sampai a. Jari-jari adalah y. Ini membingungkan. Mari kita gunakan metode cakram dengan mengintegrasikan terhadap x. Vx = π ∫[dari 0 sampai a] (y_atas^2 - y_bawah^2) dx Di sini, y_atas adalah a^2 dan y_bawah adalah x^2. Vx = π ∫[dari 0 sampai a] ((a^2)^2 - (x^2)^2) dx Vx = π ∫[dari 0 sampai a] (a^4 - x^4) dx Vx = π [a^4x - x^5/5]_0^a Vx = π (a^5 - a^5/5) = 4πa^5/5 Rotasi mengelilingi sumbu-Y (Vy): Menggunakan metode kulit tabung. Radius = x Tinggi = a^2 - x^2 Batas x adalah dari 0 hingga a. Vy = ∫[dari 0 sampai a] 2πx (a^2 - x^2) dx Vy = 2π ∫[dari 0 sampai a] (a^2x - x^3) dx Vy = 2π [a^2x^2/2 - x^4/4]_0^a Vy = 2π [a^4/2 - a^4/4] Vy = 2π [a^4/4] = πa^4/2 Agar Vx = Vy: 4πa^5/5 = πa^4/2 4a^5/5 = a^4/2 8a^5 = 5a^4 8a^5 - 5a^4 = 0 a^4(8a - 5) = 0 Karena a ≠ 0, maka 8a - 5 = 0, sehingga a = 5/8.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Aplikasi Integral
Section: Metode Cakram, Metode Kulit Tabung, Volume Benda Putar
Apakah jawaban ini membantu?