Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11mathMatematika

Jika diketahui limit x -> 0 sinx/x=1, maka limit x -> pi/2

Pertanyaan

Jika diketahui limit x -> 0 sinx/x=1, maka limit x -> pi/2 (pi/2-x) tg x= . . . .

Solusi

Verified

0

Pembahasan

Kita diberikan informasi bahwa \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1. Kita perlu mencari \lim_{x \to \pi/2} \frac{\pi/2 - x}{\tan x}. Misalkan y = \pi/2 - x. Ketika x \to \pi/2, maka y \to 0. Juga, x = \pi/2 - y. Sehingga, \tan x = \tan(\pi/2 - y) = \cot y = \frac{1}{\tan y}. Maka limitnya menjadi: \lim_{y \to 0} \frac{y}{\cot y} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{1/\tan y} = \lim_{y \to 0} y \tan y Kita tahu bahwa \tan y = \frac{\sin y}{\cos y}. Jadi, \lim_{y \to 0} y \frac{\sin y}{\cos y} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\cos y} \sin y. Karena \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1, maka kita bisa menulisnya sebagai: \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \cdot \frac{y^2}{\cos y}. Atau, kita bisa gunakan hubungan \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} dan \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}. Limitnya adalah \lim_{x \to \pi/2} \frac{\pi/2 - x}{\tan x}. Ganti x dengan \pi/2 - y. \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan(\pi/2 - y)} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\cot y} = \lim_{y \to 0} y \tan y. Ini tidak menuju ke hasil yang pasti dengan informasi yang diberikan saja. Mari kita gunakan aturan L'Hopital karena bentuknya 0/0 jika kita substitusi langsung tan(pi/2) yang tidak terdefinisi. Namun, jika kita gunakan manipulasi trigonometri: \lim_{x \to \pi/2} \frac{\pi/2 - x}{\tan x} = \lim_{x \to \pi/2} \frac{\pi/2 - x}{\sin x / \cos x} Kita tahu \lim_{x \to \pi/2} \cos x = 0 dan \lim_{x \to \pi/2} \sin x = 1. Ini juga tidak membantu. Mari kita kembali ke substitusi y = \pi/2 - x. \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan(\pi/2 - y)} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\cot y} = \lim_{y \to 0} y \tan y = \lim_{y \to 0} y \frac{\sin y}{\cos y} Kita bisa menulis ini sebagai \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \cdot y^2 \cdot \frac{1}{\cos y}. Karena \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1 dan \lim_{y \to 0} \cos y = 1, maka limitnya menjadi 1 * 0^2 * 1 = 0. Mari kita cek kembali: \lim_{x \to \pi/2} \frac{\pi/2 - x}{\tan x} Turunan dari pembilang: -1 Turunan dari penyebut: \sec^2 x Menggunakan Aturan L'Hopital: \lim_{x \to \pi/2} \frac{-1}{\sec^2 x} = \lim_{x \to \pi/2} -\cos^2 x = -(\cos(\pi/2))^2 = -(0)^2 = 0.
Topik: Kalkulus
Section: Limit Fungsi Trigonometri

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...