Jika f[n] menyatakan banyak faktor positif dari bilangan

-18

Pembahasan

Untuk mencari nilai f[n], kita perlu mencari faktor positif dari n yang lebih besar dari akar kuadrat dari n. Mari kita analisis kedua suku yang diberikan.

Suku pertama: f[(3^4 . 463)^2]
Bilangan tersebut adalah (3^4 . 463)^2 = 3^8 . 463^2.
Jumlah faktor totalnya adalah (8+1)(2+1) = 9 * 3 = 27.
Kita perlu mencari faktor-faktornya dan membandingkannya dengan akar kuadrat dari bilangan tersebut, yaitu (3^4 . 463) = 81 * 463 = 37503.
Karena proses pencarian faktor secara manual akan sangat panjang, kita perlu menggunakan sifat-sifat teori bilangan.

Suku kedua: f[(3^3 . 4^2)^2]
Bilangan tersebut adalah (3^3 . 4^2)^2 = (3^3 . 2^4)^2 = 3^6 . 2^8.
Jumlah faktor totalnya adalah (6+1)(8+1) = 7 * 9 = 63.
Akar kuadrat dari bilangan tersebut adalah (3^3 . 2^4) = 27 * 16 = 432.

Untuk menyelesaikan soal ini dengan efisien, perlu diketahui bahwa jumlah faktor yang lebih besar dari akar kuadrat suatu bilangan sama dengan jumlah faktor yang lebih kecil dari akar kuadratnya, kecuali jika bilangan tersebut adalah bilangan kuadrat sempurna, di mana akar kuadratnya adalah satu faktor. Dalam kasus bilangan kuadrat sempurna, jumlah faktor yang lebih besar dari akarnya adalah (jumlah total faktor - 1) / 2.

Namun, tanpa informasi lebih lanjut mengenai sifat fungsi f[n] dan bagaimana cara menghitungnya secara umum atau tanpa melakukan perhitungan manual yang ekstensif, sulit untuk memberikan jawaban yang pasti. Asumsi umum dalam soal semacam ini adalah bahwa terdapat pola atau metode yang lebih efisien.

Jika kita mengasumsikan bahwa f[n] merujuk pada jumlah faktor prima yang lebih besar dari akar kuadrat n, atau jika ada teorema spesifik yang relevan, maka perhitungannya akan berbeda. Namun, berdasarkan definisi "banyak faktor positif dari bilangan bulat n yang lebih dari akar(n)", kita perlu mempertimbangkan semua faktor positif.

Karena perhitungan langsung sangat kompleks, dan tanpa adanya penyederhanaan atau informasi tambahan, soal ini memerlukan analisis teori bilangan yang mendalam atau penggunaan perangkat lunak khusus untuk faktorisasi dan pencacahan faktor. 

Namun, jika kita merujuk pada properti umum dari fungsi pembagi (divisor function), di mana jumlah faktor positif dari N adalah d(N). Jika N bukan kuadrat sempurna, maka jumlah faktor yang lebih besar dari sqrt(N) sama dengan jumlah faktor yang lebih kecil dari sqrt(N). Jadi, d(N) = 2 * (jumlah faktor > sqrt(N)).
Jika N adalah kuadrat sempurna, maka d(N) = 2 * (jumlah faktor > sqrt(N)) + 1.

Untuk N1 = (3^4 . 463)^2 = 3^8 . 463^2, ini adalah kuadrat sempurna. Jumlah faktor totalnya d(N1) = (8+1)(2+1) = 27. Maka f[N1] = (27-1)/2 = 13.
Untuk N2 = (3^3 . 4^2)^2 = (3^3 . 2^4)^2 = 3^6 . 2^8, ini adalah kuadrat sempurna. Jumlah faktor totalnya d(N2) = (6+1)(8+1) = 63. Maka f[N2] = (63-1)/2 = 31.

Selisihnya adalah f[N2] - f[N1] = 31 - 13 = 18. Jika urutannya terbalik, maka 13 - 31 = -18. Kita ambil nilai absolut atau sesuai urutan soal.

Mari kita cek kembali soalnya: "selisih nilai dari f[(3^4 . 463)^2] dan f[(3^3 . 4^2)^2]", berarti f[(3^4 . 463)^2] - f[(3^3 . 4^2)^2] = 13 - 31 = -18.

Jawaban: -18