Jika f(x)=(1+cos^2 x)^6 maka tentukan f'(x) dan f'(pi/4)

f'(x) = -6 sin(2x) (1 + cos^2 x)^5, f'(pi/4) = -729/16

Pembahasan

Untuk menentukan f'(x) dari f(x) = (1 + cos^2 x)^6, kita akan menggunakan aturan rantai.
Misalkan u = 1 + cos^2 x. Maka f(x) = u^6.

Turunan pertama f(x) terhadap u adalah:
df/du = 6u^5

Selanjutnya, kita perlu mencari turunan u terhadap x. Ingat bahwa cos^2 x = (cos x)^2.
Untuk mencari turunan dari cos^2 x, kita gunakan aturan rantai lagi.
Misalkan v = cos x. Maka cos^2 x = v^2.
d(cos^2 x)/dv = 2v
dv/dx = -sin x

Maka, turunan dari cos^2 x adalah: 2v * (-sin x) = 2(cos x)(-sin x) = -2 sin x cos x = -sin(2x).

Jadi, turunan u terhadap x adalah:
du/dx = d/dx (1 + cos^2 x) = 0 + (-sin(2x)) = -sin(2x).

Sekarang kita gabungkan menggunakan aturan rantai:
f'(x) = df/du * du/dx
f'(x) = 6u^5 * (-sin(2x))
f'(x) = 6(1 + cos^2 x)^5 * (-sin(2x))
f'(x) = -6 sin(2x) (1 + cos^2 x)^5

Untuk mencari f'(pi/4):
Kita substitusikan x = pi/4 ke dalam f'(x).
cos(pi/4) = sqrt(2)/2
cos^2(pi/4) = (sqrt(2)/2)^2 = 2/4 = 1/2
sin(2 * pi/4) = sin(pi/2) = 1

f'(pi/4) = -6 * sin(pi/2) * (1 + cos^2(pi/4))^5
f'(pi/4) = -6 * 1 * (1 + 1/2)^5
f'(pi/4) = -6 * (3/2)^5
f'(pi/4) = -6 * (243/32)
f'(pi/4) = -3 * (243/16)
f'(pi/4) = -729/16

Jadi, f'(x) = -6 sin(2x) (1 + cos^2 x)^5 dan f'(pi/4) = -729/16.