Jika f(x)=(2x+3)(x^3+8)^(1/4), maka nilai f'(2)=...

Nilai f'(2) adalah 53/8.

Pembahasan

Untuk mencari nilai f'(2) dari fungsi f(x) = (2x+3)(x³+8)¹/⁴, kita perlu menggunakan aturan perkalian (product rule) dan aturan rantai (chain rule) dalam turunan.

Aturan Perkalian: (uv)' = u'v + uv'
Misalkan u = 2x+3 dan v = (x³+8)¹/⁴.

Mencari turunan u (u'):
u' = d/dx (2x+3) = 2.

Mencari turunan v (v') menggunakan aturan rantai:
Jika y = w¹/⁴, maka dy/dw = (1/4)w⁻³/⁴. 
Jika w = x³+8, maka dw/dx = 3x².
Menggunakan aturan rantai, v' = dy/dx = dy/dw * dw/dx = (1/4)(x³+8)⁻³/⁴ * (3x²).
Jadi, v' = (3x²)/(4(x³+8)³/⁴).

Sekarang, terapkan aturan perkalian:
f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 2 * (x³+8)¹/⁴ + (2x+3) * [(3x²)/(4(x³+8)³/⁴)].

Terakhir, substitusikan x = 2 ke dalam f'(x):
f'(2) = 2 * (2³+8)¹/⁴ + (2*2+3) * [(3*2²)/(4(2³+8)³/⁴)].
f'(2) = 2 * (8+8)¹/⁴ + (4+3) * [(3*4)/(4(8+8)³/⁴)].
f'(2) = 2 * (16)¹/⁴ + 7 * [12/(4(16)³/⁴)].

Kita tahu bahwa 16¹/⁴ = 2 (karena 2⁴ = 16).
Maka, 16³/⁴ = (16¹/⁴)³ = 2³ = 8.

Substitusikan kembali nilai ini:
f'(2) = 2 * 2 + 7 * [12/(4*8)].
f'(2) = 4 + 7 * [12/32].

Sederhanakan 12/32 dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 4:
12/32 = 3/8.

f'(2) = 4 + 7 * (3/8).
f'(2) = 4 + 21/8.

Untuk menjumlahkan, ubah 4 menjadi pecahan dengan penyebut 8:
4 = 32/8.

f'(2) = 32/8 + 21/8.
f'(2) = 53/8.