Jika f(x)=x^2 , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva

18

Pembahasan

Diberikan fungsi f(x) = x^2. Kita perlu mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 - f(x), y = 9 - f(x-6), dan garis y = 9.

Kurva pertama adalah y = 9 - x^2. Ini adalah parabola yang terbuka ke bawah dengan puncak di (0, 9).
Kurva kedua adalah y = 9 - f(x-6) = 9 - (x-6)^2. Ini adalah parabola yang sama, tetapi digeser 6 satuan ke kanan, sehingga puncaknya berada di (6, 9).
Garis ketiga adalah y = 9, yang merupakan garis horizontal yang melewati puncak kedua parabola.

Daerah yang dibatasi adalah area di antara kedua parabola dan garis y = 9. Karena kedua parabola memiliki bentuk yang sama dan digeser secara horizontal, serta dibatasi oleh garis horizontal yang sama di puncaknya, daerah yang terbentuk adalah simetris.

Kita dapat mencari luas di bawah garis y = 9 dan di atas salah satu parabola, kemudian mengalikannya dengan dua karena simetri, atau mencari luas di antara kedua parabola.
Mari kita cari luas di antara kedua parabola dari x=0 sampai x=6. Namun, kedua parabola bertemu di y=9, jadi kita perlu mencari di mana mereka berpotongan jika kita menganggap batas bawahnya.

Cara yang lebih mudah adalah dengan melihat bahwa kurva y = 9 - (x-6)^2 adalah translasi dari y = 9 - x^2 sejauh 6 unit ke kanan. Jika kita mencari luas antara y = 9 - x^2 dan y = 9, ini adalah daerah di bawah garis y=9 dan di atas parabola. Jika kita mencari luas antara y = 9 - (x-6)^2 dan y = 9, ini adalah daerah di bawah garis y=9 dan di atas parabola yang digeser.

Luas di bawah garis y=9 dan di atas y=9-x^2 dari x=0 hingga x=c adalah integral dari (9 - (9-x^2)) dx = integral dari x^2 dx. Kapan y=9-x^2 memotong y=9? 9=9-x^2 => x^2=0 => x=0.

Mari kita pertimbangkan luas antara kedua kurva y = 9 - x^2 dan y = 9 - (x-6)^2. Kedua kurva simetris terhadap garis x=3 dan puncaknya berada pada y=9 di x=0 dan x=6.

Luas daerah yang dibatasi oleh y = 9 - x^2 dan y = 9 adalah integral dari (9 - (9-x^2)) dx dari -3 hingga 3 (di mana 9-x^2 = 0 => x = +/- 3).
Integral dari x^2 dx dari -3 sampai 3 adalah [x^3/3] dari -3 sampai 3 = (3^3/3) - (-3)^3/3 = (27/3) - (-27/3) = 9 - (-9) = 18. Ini adalah luas di bawah y=9 dan di atas y=9-x^2.

Kurva kedua adalah y = 9 - (x-6)^2. Jika kita geser kembali 6 unit ke kiri, kita mendapatkan y = 9 - x^2. Batasnya juga akan digeser. Jika kita mengintegralkan dari x=0 sampai x=6 untuk daerah antara y=9 dan y=9-(x-6)^2:
Integral dari (9 - (9 - (x-6)^2)) dx dari 0 sampai 6
= Integral dari (x-6)^2 dx dari 0 sampai 6
Misal u = x-6, du = dx. Batas bawah: 0-6 = -6. Batas atas: 6-6 = 0.
Integral dari u^2 du dari -6 sampai 0 = [u^3/3] dari -6 sampai 0 = (0^3/3) - (-6)^3/3 = 0 - (-216/3) = 72.

Ini sepertinya terlalu besar. Mari kita perhatikan daerah yang dibatasi.
Daerah dibatasi oleh y=9, y=9-x^2, dan y=9-(x-6)^2.
Perpotongan y=9-x^2 dan y=9-(x-6)^2:
9-x^2 = 9-(x-6)^2
-x^2 = -(x^2 - 12x + 36)
-x^2 = -x^2 + 12x - 36
0 = 12x - 36
12x = 36
x = 3.
Ketika x=3, y = 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0.

Jadi, kedua parabola berpotongan di (3, 0) jika kita melihat nilai y = 9-f(x) dan y = 9-f(x-6) tanpa batas y=9.

Mari kita gunakan properti simetri dan translasi. Luas di bawah y=9 dan di atas y=9-x^2 dari x=0 hingga x=3 adalah integral dari x^2 dx dari 0 sampai 3 = [x^3/3] dari 0 sampai 3 = 3^3/3 - 0 = 27/3 = 9.
Karena simetri, luas dari x=-3 sampai 0 juga 9. Jadi total luas di bawah y=9 dan di atas y=9-x^2 adalah 18.

Kurva kedua y = 9 - (x-6)^2 adalah pergeseran dari y = 9 - x^2 sejauh 6 unit ke kanan. Garis y = 9 adalah batas atas.

Perhatikan bahwa daerah yang dibatasi oleh y=9, y=9-x^2, dan y=9-(x-6)^2 adalah daerah di antara kedua parabola dari titik potongnya. Titik potong kedua parabola adalah x=3. Namun, batasnya juga y=9.

Consider the area under y=9 and above y=9-x^2 for x in [0, 3]. This area is integral of x^2 from 0 to 3, which is 9.
Consider the area under y=9 and above y=9-(x-6)^2 for x in [3, 6]. This area is integral of (x-6)^2 from 3 to 6. Let u=x-6, du=dx. When x=3, u=-3. When x=6, u=0. Integral of u^2 from -3 to 0 is [u^3/3] from -3 to 0 = 0 - (-27/3) = 9.

The total area is the sum of these two areas, 9 + 9 = 18.

Ini adalah luas di bawah garis y=9 dan di atas masing-masing parabola di separuh daerah yang relevan. Luas total yang dibatasi oleh kedua parabola dan garis y=9 adalah jumlah dari luas di bawah y=9 dan di atas y=9-x^2 (untuk x dari 0 hingga 3) dan luas di bawah y=9 dan di atas y=9-(x-6)^2 (untuk x dari 3 hingga 6).

Luas = integral dari (9 - (9-x^2)) dx dari 0 hingga 3 + integral dari (9 - (9-(x-6)^2)) dx dari 3 hingga 6
Luas = integral dari x^2 dx dari 0 hingga 3 + integral dari (x-6)^2 dx dari 3 hingga 6
Luas = [x^3/3] (dari 0 hingga 3) + [(x-6)^3/3] (dari 3 hingga 6)
Luas = (3^3/3 - 0^3/3) + ((6-6)^3/3 - (3-6)^3/3)
Luas = (27/3 - 0) + (0^3/3 - (-3)^3/3)
Luas = 9 + (0 - (-27/3))
Luas = 9 + 9 = 18.