Jika f(x)=(x^3-3) akar(2x+1), nilai f'(4)=... A. 27 B. 28

28 1/3

Pembahasan

Untuk mencari nilai $f'(4)$ dari fungsi $f(x) = (x^3 - 3) \sqrt{2x+1}$, kita perlu menggunakan aturan perkalian dan aturan rantai untuk turunan.

Misalkan $u(x) = x^3 - 3$ dan $v(x) = \sqrt{2x+1} = (2x+1)^{1/2}$.

Mencari turunan dari $u(x)$: $u'(x) = 3x^2$.

Mencari turunan dari $v(x)$ menggunakan aturan rantai:
$v'(x) = (1/2)(2x+1)^{-1/2} \times d/dx(2x+1)$
$v'(x) = (1/2)(2x+1)^{-1/2} \times 2$
$v'(x) = (2x+1)^{-1/2} = 1 / \sqrt{2x+1}$.

Menggunakan aturan perkalian untuk turunan, $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
$f'(x) = (3x^2)(\sqrt{2x+1}) + (x^3 - 3)(1 / \sqrt{2x+1})$.

Sekarang, kita substitusikan $x=4$ ke dalam $f'(x)$.
$f'(4) = (3 \times 4^2)(\sqrt{2 \times 4 + 1}) + (4^3 - 3)(1 / \sqrt{2 \times 4 + 1})$
$f'(4) = (3 \times 16)(\sqrt{8 + 1}) + (64 - 3)(1 / \sqrt{8 + 1})$
$f'(4) = (48)(\sqrt{9}) + (61)(1 / \sqrt{9})$
$f'(4) = (48)(3) + (61)(1 / 3)$
$f'(4) = 144 + 61/3$

Untuk menjumlahkannya, kita ubah 144 menjadi pecahan dengan penyebut 3:
$144 = 144 \times 3 / 3 = 432 / 3$.

$f'(4) = 432/3 + 61/3 = (432 + 61) / 3 = 493 / 3$.

Sekarang, kita ubah ke bentuk pecahan campuran:
$493 \div 3 = 164$ sisa $1$. Jadi, $493/3 = 164 \frac{1}{3}$.

Mari kita periksa kembali perhitungannya.
$f'(x) = 3x^2 \sqrt{2x+1} + \frac{x^3-3}{\sqrt{2x+1}}$
Saat $x=4$:
$f'(4) = 3(4^2) \sqrt{2(4)+1} + \frac{4^3-3}{\sqrt{2(4)+1}}$
$f'(4) = 3(16) \sqrt{9} + \frac{64-3}{\sqrt{9}}$
$f'(4) = 48(3) + \frac{61}{3}$
$f'(4) = 144 + \frac{61}{3}$
$f'(4) = \frac{144 \times 3}{3} + \frac{61}{3}$
$f'(4) = \frac{432}{3} + \frac{61}{3}$
$f'(4) = \frac{493}{3}$
$f'(4) = 164 \frac{1}{3}$.

Namun, pilihan jawaban yang diberikan adalah:
A. 27
B. 28 1/3
C. 29 3/2
D. 30
E. 31 1/3

Pilihan jawaban yang ada tidak sesuai dengan hasil perhitungan. Mari kita periksa kembali soalnya, mungkin ada kesalahan penulisan atau interpretasi.

Jika soalnya adalah $f(x) = (x^3-3) (2x+1)^{1/2}$, maka perhitungannya di atas sudah benar.

*Kemungkinan Kesalahan Soal atau Pilihan Jawaban*
Mari kita coba jika ada kesalahan pada pangkat akar atau konstanta.

Jika kita coba lihat pilihan E: 31 1/3 = 94/3. Sepertinya hasil perhitungan kita jauh berbeda.

Mari kita ulangi perhitungan $f'(4)$ dengan hati-hati.
$f(x) = (x^3 - 3) (2x+1)^{1/2}$
$u = x^3 - 3 => u' = 3x^2$
$v = (2x+1)^{1/2} => v' = 1/2 (2x+1)^{-1/2} * 2 = (2x+1)^{-1/2}$
$f'(x) = u'v + uv' = 3x^2 (2x+1)^{1/2} + (x^3 - 3) (2x+1)^{-1/2}$
$f'(4) = 3(4^2) (2(4)+1)^{1/2} + (4^3 - 3) (2(4)+1)^{-1/2}$
$f'(4) = 3(16) (9)^{1/2} + (64 - 3) (9)^{-1/2}$
$f'(4) = 48 * 3 + 61 * (1/3)$
$f'(4) = 144 + 61/3 = 432/3 + 61/3 = 493/3 = 164 \frac{1}{3}$.

Pilihan jawaban yang diberikan sangat berbeda. Mungkin soalnya bukan seperti yang tertulis. 

Misalkan fungsi $f(x) = (x^3-3) 	imes (2x+1)$.
$f'(x) = 3x^2 (2x+1) + (x^3-3)(2)$
$f'(4) = 3(16)(9) + (61)(2) = 48(9) + 122 = 432 + 122 = 554$. Ini juga tidak cocok.

Misalkan fungsi $f(x) = (x^3-3) + \sqrt{2x+1}$.
$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \times 2 = 3x^2 + \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
$f'(4) = 3(16) + \frac{1}{\sqrt{9}} = 48 + 1/3 = 144/3 + 1/3 = 145/3 = 48 \frac{1}{3}$. Tidak cocok.

Misalkan fungsi $f(x) = (x^3-3) / \sqrt{2x+1}$.
$f'(x) = \frac{3x^2 \sqrt{2x+1} - (x^3-3) \frac{1}{\sqrt{2x+1}}}{2x+1}$
$f'(4) = \frac{3(16) \sqrt{9} - (61) \frac{1}{\sqrt{9}}}{9} = \frac{48(3) - 61(1/3)}{9} = \frac{144 - 61/3}{9} = \frac{(432-61)/3}{9} = \frac{371/3}{9} = \frac{371}{27} \approx 13.74$. Tidak cocok.

Mari kita coba cek pilihan jawaban jika ada yang bisa menghasilkan angka yang mendekati.
Misalkan $f'(4) = 28 rac{1}{3} = rac{85}{3}$.

Jika kita lihat lagi $f'(x) = 3x^2 \sqrt{2x+1} + \frac{x^3-3}{\sqrt{2x+1}}$.
Bagaimana jika ada kesalahan pada nilai $x$ atau pada koefisien?

Coba kita periksa pilihan lain. Misalnya pilihan A = 27. Itu sangat kecil dibandingkan dengan hasil perhitungan kita.

Kemungkinan soalnya adalah turunan dari fungsi yang berbeda atau ada kesalahan pengetikan yang signifikan.

*Asumsi lain*: Mungkin "akar(2x+1)" dibaca sebagai perkalian biasa, bukan akar kuadrat. Jadi $f(x) = (x^3-3)(2x+1)$.
$f'(x) = (3x^2)(2x+1) + (x^3-3)(2)$
$f'(4) = (3 	imes 4^2)(2 	imes 4 + 1) + (4^3 - 3)(2)$
$f'(4) = (3 	imes 16)(8+1) + (64 - 3)(2)$
$f'(4) = (48)(9) + (61)(2)$
$f'(4) = 432 + 122 = 554$. Masih tidak cocok.

Jika $f(x) = (x^3-3) + (2x+1)^{1/2}$, maka $f'(x) = 3x^2 + rac{1}{2}(2x+1)^{-1/2} 	imes 2 = 3x^2 + rac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
$f'(4) = 3(4^2) + rac{1}{\sqrt{2(4)+1}} = 3(16) + \frac{1}{\sqrt{9}} = 48 + \frac{1}{3} = \frac{144+1}{3} = \frac{145}{3} = 48 \frac{1}{3}$. Masih tidak cocok.

Mungkin soalnya adalah $f(x) = x^3 - 3 + \sqrt{2x+1}$.
$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.
$f'(4) = 3(4^2) + \frac{1}{\sqrt{9}} = 48 + \frac{1}{3} = 48\frac{1}{3}$.

Mungkin soalnya adalah $f(x) = (x^3-3)(2x+1)^{1/2}$. Mari kita coba mencari nilai turunan parsial atau menggunakan aturan lain yang mungkin terlewat.

Mari kita asumsikan ada kesalahan pada soal dan coba cocokkan dengan salah satu jawaban. Misalkan jawaban B adalah benar, $f'(4) = 28 \frac{1}{3} = \frac{85}{3}$.

Jika $f(x) = (x-3)\(2x+1)$, $f'(x) = 1(2x+1) + (x-3)2 = 2x+1+2x-6 = 4x-5$. $f'(4) = 4(4)-5 = 16-5 = 11$. Tidak cocok.

Jika $f(x) = x^3 - (3\sqrt{2x+1})$.
$f'(x) = 3x^2 - 3 \times \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \times 2 = 3x^2 - \frac{3}{\sqrt{2x+1}}$.
$f'(4) = 3(4^2) - \frac{3}{\sqrt{9}} = 48 - \frac{3}{3} = 48 - 1 = 47$. Tidak cocok.

Jika $f(x) = (x^3-3) / (2x+1)^{1/2}$ perhitungannya adalah $371/27$.

Mari kita coba ubah angka di soal sedikit untuk melihat apakah bisa mendekati jawaban.
Misal $f(x) = (x^2-3)\(2x+1)^{1/2}$.
$u=x^2-3 => u'=2x$.
$f'(x) = 2x(2x+1)^{1/2} + (x^2-3)(2x+1)^{-1/2}$.
$f'(4) = 2(4)(9)^{1/2} + (16-3)(9)^{-1/2} = 8(3) + 13(1/3) = 24 + 13/3 = 72/3 + 13/3 = 85/3 = 28\frac{1}{3}$.

Hasil ini cocok dengan pilihan B. Jadi, kemungkinan besar soal aslinya adalah $f(x) = (x^2-3)\sqrt{2x+1}$, bukan $f(x) = (x^3-3)\sqrt{2x+1}$. Dengan asumsi ini, maka jawabannya adalah B.

*Jawaban berdasarkan asumsi soal adalah* $f(x) = (x^2-3)\sqrt{2x+1}$:
$f'(x) = 2x\sqrt{2x+1} + (x^2-3)\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$
$f'(4) = 2(4)\sqrt{2(4)+1} + (4^2-3)\frac{1}{\sqrt{2(4)+1}}$
$f'(4) = 8\sqrt{9} + (16-3)\frac{1}{\sqrt{9}}$
$f'(4) = 8(3) + (13)\frac{1}{3}$
$f'(4) = 24 + \frac{13}{3}$
$f'(4) = \frac{72}{3} + \frac{13}{3}$
$f'(4) = \frac{85}{3}$
$f'(4) = 28 \frac{1}{3}$.