Nilai lim x-> tak hingga (2^x+1 - 3^x-2 + 4^x+1)/(2^x-1 +

4

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari \(\lim_{x \to \infty} \frac{2^x+1 - 3^x-2 + 4^x+1}{2^x-1 + 3^x+1 + 4^x-1}\), kita bagi pembilang dan penyebut dengan suku dengan pangkat tertinggi, yaitu \(4^x\).

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2^x+1}{4^x} - \frac{3^x-2}{4^x} + \frac{4^x+1}{4^x}}{\frac{2^x-1}{4^x} + \frac{3^x+1}{4^x} + \frac{4^x-1}{4^x}}\)

Sederhanakan setiap suku:
\(\frac{2^x+1}{4^x} = \frac{2^x \cdot 2}{ (2^2)^x} = \frac{2^x \cdot 2}{2^{2x}} = \frac{2}{2^x} \to 0 \) ketika \(x \to \infty\)
\(\frac{3^x-2}{4^x} = \frac{3^x}{4^x \cdot 4^2} = \frac{1}{16} \left(\frac{3}{4}\right)^x \to 0 \) ketika \(x \to \infty\)
\(\frac{4^x+1}{4^x} = \frac{4^x \cdot 4}{4^x} = 4 \)

\(\frac{2^x-1}{4^x} = \frac{2^x}{4^x \cdot 4} = \frac{1}{4} \left(\frac{2}{4}\right)^x = \frac{1}{4} \left(\frac{1}{2}\right)^x \to 0 \) ketika \(x \to \infty\)
\(\frac{3^x+1}{4^x} = \frac{3^x \cdot 3}{4^x} = 3 \left(\frac{3}{4}\right)^x \to 0 \) ketika \(x \to \infty\)
\(\frac{4^x-1}{4^x} = \frac{4^x}{4^x} - \frac{1}{4^x} = 1 - \frac{1}{4^x} \to 1 \) ketika \(x \to \infty\)

Jadi, limitnya adalah \(\frac{0 - 0 + 4}{0 + 0 + 1} = \frac{4}{1} = 4\).