Jika jumlah sepuluh barisan pertama dari log x, log x^3y^2,

Nilai a+b adalah 38.

Pembahasan

Deret yang diberikan adalah:
log x, log x^3y^2, log x^5y^4, log x^7y^6, ...

Kita perlu mengidentifikasi apakah deret ini merupakan deret aritmetika atau geometri berdasarkan suku-sukunya. Namun, lebih mudah jika kita ubah bentuk suku-sukunya menggunakan sifat logaritma:

Suku ke-1 (U1) = log x
Suku ke-2 (U2) = log x^3y^2 = log x^3 + log y^2 = 3 log x + 2 log y
Suku ke-3 (U3) = log x^5y^4 = log x^5 + log y^4 = 5 log x + 4 log y
Suku ke-4 (U4) = log x^7y^6 = log x^7 + log y^6 = 7 log x + 6 log y

Sekarang, mari kita lihat pola pada koefisien log x dan log y:

Untuk log x:
Koefisiennya adalah 1, 3, 5, 7, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a = 1 dan beda (d) = 2.
Suku ke-n dari barisan koefisien log x adalah: Un_x = a + (n-1)d = 1 + (n-1)2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1.

Untuk log y:
Koefisiennya adalah 0 (implisit di suku pertama), 2, 4, 6, ... Ini adalah barisan aritmetika dengan suku pertama a = 0 dan beda (d) = 2.
Suku ke-n dari barisan koefisien log y adalah: Un_y = a + (n-1)d = 0 + (n-1)2 = 2n - 2.

Jadi, suku ke-n dari deret asli adalah:
Un = (2n - 1) log x + (2n - 2) log y.

Kita diminta untuk mencari jumlah sepuluh barisan pertama (S10). Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n/2 * [2a + (n-1)d]. Namun, ini adalah deret yang suku-sukunya merupakan kombinasi logaritma, bukan barisan aritmetika sederhana.

Mari kita jumlahkan suku-suku deret ini dari n=1 sampai n=10:
S10 = Σ [ (2n - 1) log x + (2n - 2) log y ] untuk n=1 sampai 10
S10 = Σ (2n - 1) log x + Σ (2n - 2) log y
S10 = log x * Σ (2n - 1) + log y * Σ (2n - 2)

Hitung jumlah koefisien log x (Σ (2n - 1) untuk n=1 sampai 10):
Ini adalah jumlah 10 suku pertama dari barisan 1, 3, 5, ..., 19.
Σ (2n - 1) = S10_x = 10/2 * [2(1) + (10-1)2] = 5 * [2 + 9*2] = 5 * [2 + 18] = 5 * 20 = 100.

Hitung jumlah koefisien log y (Σ (2n - 2) untuk n=1 sampai 10):
Ini adalah jumlah 10 suku pertama dari barisan 0, 2, 4, ..., 18.
Σ (2n - 2) = S10_y = 10/2 * [2(0) + (10-1)2] = 5 * [0 + 9*2] = 5 * 18 = 90.

Jadi, S10 = 100 log x + 90 log y.

Diketahui bahwa jumlah sepuluh barisan pertama adalah 5(a log x + b log y).
Kita samakan kedua bentuk tersebut:
100 log x + 90 log y = 5(a log x + b log y)
100 log x + 90 log y = 5a log x + 5b log y

Dengan menyamakan koefisien log x dan log y:
100 = 5a  => a = 100 / 5 = 20
90 = 5b  => b = 90 / 5 = 18

Kita perlu mencari nilai dari a + b:
a + b = 20 + 18 = 38.

Jadi, nilai dari a + b adalah 38.