Jika keliling dan luas sebuah persegi panjang

Selisih panjang dan lebarnya adalah 3 cm.

Pembahasan

Diketahui sebuah persegi panjang dengan:
Keliling ($K$) = 54 cm
Luas ($L$) = 180 cm$^2$

Misalkan panjang persegi panjang adalah $p$ dan lebarnya adalah $l$.

Rumus keliling persegi panjang adalah $K = 2(p+l)$.
Rumus luas persegi panjang adalah $L = p \times l$.

Dari informasi keliling:
$54 = 2(p+l)$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$27 = p+l$ (Persamaan 1)

Dari informasi luas:
$180 = p \times l$ (Persamaan 2)

Kita perlu mencari selisih panjang dan lebar, yaitu $|p-l|$.
Kita dapat menggunakan identitas aljabar: $(p-l)^2 = (p+l)^2 - 4pl$.

Substitusikan nilai dari Persamaan 1 dan Persamaan 2 ke dalam identitas tersebut:
$(p-l)^2 = (27)^2 - 4(180)$
$(p-l)^2 = 729 - 720$
$(p-l)^2 = 9$

Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
$p-l = \pm\sqrt{9}$
$p-l = \pm 3$

Karena selisih panjang dan lebar biasanya diartikan sebagai nilai positif (perbedaan ukuran), kita ambil nilai absolutnya.
Selisih panjang dan lebar adalah $|p-l| = 3$ cm.

Untuk memeriksa, kita bisa mencari nilai $p$ dan $l$. Dari Persamaan 1, $p = 27-l$. Substitusikan ke Persamaan 2:
$(27-l)l = 180$
$27l - l^2 = 180$
$l^2 - 27l + 180 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
Cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 180 dan jika dijumlahkan hasilnya -27. Bilangan tersebut adalah -12 dan -15.
$(l-12)(l-15) = 0$

Maka, $l=12$ atau $l=15$.
Jika $l=12$, maka $p = 27 - 12 = 15$.
Jika $l=15$, maka $p = 27 - 15 = 12$.

Dalam kedua kasus, panjangnya adalah 15 cm dan lebarnya adalah 12 cm (atau sebaliknya).
Selisihnya adalah $15 - 12 = 3$ cm.