Jika kurva f(x)=ax^2+bx+c memotong sumbu y di titik (0,1)

-1

Pembahasan

Diberikan fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Informasi 1: Kurva memotong sumbu y di titik (0,1).
Ini berarti ketika $x=0$, $f(x)=1$. Substitusikan ke dalam fungsi:
$f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1$
$0 + 0 + c = 1$
$c = 1$

Informasi 2: $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = -4$.
Substitusikan $f(x) = ax^2 + bx + c$:
$\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + c}{x-1} = -4$.

Karena penyebut mendekati 0 ketika $x \to 1$, agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (-4), pembilang juga harus mendekati 0 ketika $x \to 1$. Ini berarti $x-1$ adalah faktor dari pembilang (berdasarkan Teorema Faktor).
Substitusikan $x=1$ ke pembilang:
$a(1)^2 + b(1) + c = 0$
$a + b + c = 0$

Kita sudah tahu bahwa $c=1$, jadi:
$a + b + 1 = 0$
$a + b = -1$ (Persamaan 1)

Sekarang, kita gunakan L'Hôpital's Rule karena kita memiliki bentuk $\frac{0}{0}$:
$\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{1} = -4$
$f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b$

Maka:
$2a(1) + b = -4$
$2a + b = -4$ (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b):
1) $a + b = -1$
2) $2a + b = -4$

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2:
$(2a + b) - (a + b) = -4 - (-1)$
$2a + b - a - b = -4 + 1$
$a = -3$

Substitusikan nilai $a = -3$ ke Persamaan 1:
$(-3) + b = -1$
$b = -1 + 3$
$b = 2$

Jadi, kita punya $a = -3$, $b = 2$, dan $c = 1$.

Yang ditanyakan adalah $\frac{b+c}{a}$.
$\frac{b+c}{a} = \frac{2 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$.

Jadi, nilai dari (b+c)/a adalah -1.