Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Jika kurva f(x)=ax^2+bx+c memotong sumbu y di titik (0,1)
Pertanyaan
Jika kurva f(x)=ax^2+bx+c memotong sumbu y di titik (0,1) dan lim x->1 f(x)/(x-1)=-4, maka (b+c)/a=...
Solusi
Verified
-1
Pembahasan
Diberikan fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$. Informasi 1: Kurva memotong sumbu y di titik (0,1). Ini berarti ketika $x=0$, $f(x)=1$. Substitusikan ke dalam fungsi: $f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1$ $0 + 0 + c = 1$ $c = 1$ Informasi 2: $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = -4$. Substitusikan $f(x) = ax^2 + bx + c$: $\lim_{x \to 1} \frac{ax^2 + bx + c}{x-1} = -4$. Karena penyebut mendekati 0 ketika $x \to 1$, agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (-4), pembilang juga harus mendekati 0 ketika $x \to 1$. Ini berarti $x-1$ adalah faktor dari pembilang (berdasarkan Teorema Faktor). Substitusikan $x=1$ ke pembilang: $a(1)^2 + b(1) + c = 0$ $a + b + c = 0$ Kita sudah tahu bahwa $c=1$, jadi: $a + b + 1 = 0$ $a + b = -1$ (Persamaan 1) Sekarang, kita gunakan L'Hôpital's Rule karena kita memiliki bentuk $\frac{0}{0}$: $\lim_{x \to 1} \frac{f'(x)}{1} = -4$ $f'(x) = \frac{d}{dx}(ax^2 + bx + c) = 2ax + b$ Maka: $2a(1) + b = -4$ $2a + b = -4$ (Persamaan 2) Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b): 1) $a + b = -1$ 2) $2a + b = -4$ Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2: $(2a + b) - (a + b) = -4 - (-1)$ $2a + b - a - b = -4 + 1$ $a = -3$ Substitusikan nilai $a = -3$ ke Persamaan 1: $(-3) + b = -1$ $b = -1 + 3$ $b = 2$ Jadi, kita punya $a = -3$, $b = 2$, dan $c = 1$. Yang ditanyakan adalah $\frac{b+c}{a}$. $\frac{b+c}{a} = \frac{2 + 1}{-3} = \frac{3}{-3} = -1$. Jadi, nilai dari (b+c)/a adalah -1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?