Jika lim _(x -> 1) (akar(a x^(2)+b)-3)/(x-1)=A , maka lim

Hasil limitnya adalah (A-2)/6.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan limit fungsi aljabar. Diketahui $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{ax^2+b}-3}{x-1}=A$. 
Karena limitnya ada dan penyebutnya menuju 0 saat x=1, maka pembilangnya juga harus menuju 0 saat x=1. 
$\sqrt{a(1)^2+b}-3 = 0$
$\sqrt{a+b} = 3$
$a+b = 9$  (Persamaan 1)
Untuk mencari nilai A, kita gunakan aturan L'Hopital atau perkalian sekawan:
Menggunakan perkalian sekawan:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{ax^2+b}-3}{x-1} \times \frac{\sqrt{ax^2+b}+3}{\sqrt{ax^2+b}+3}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{ax^2+b-9}{(x-1)(\sqrt{ax^2+b}+3)}$
Karena $a+b=9$, maka $b=9-a$. Substitusikan b:
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{ax^2+(9-a)-9}{(x-1)(\sqrt{ax^2+(9-a)}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{ax^2-a}{(x-1)(\sqrt{ax^2+9-a}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a(x^2-1)}{(x-1)(\sqrt{ax^2+9-a}+3)}$
$= \lim _{x \rightarrow 1} \frac{a(x-1)(x+1)}{(x-1)(\sqrt{ax^2+9-a}+3)}$
$= \frac{a(1+1)}{\sqrt{a(1)^2+9-a}+3}$
$= \frac{2a}{\sqrt{9}+3}$
$= \frac{2a}{3+3}$
$= \frac{2a}{6}$
$= \frac{a}{3}$
Jadi, $A = \frac{a}{3}$, yang berarti $a = 3A$.
Dari Persamaan 1, $a+b=9$. Substitusikan $a=3A$: $3A+b=9$, sehingga $b=9-3A$.
Sekarang kita perlu mencari limit kedua:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}-x-\frac{1}{2}}{x^2+x-2}$
Substitusikan nilai a dan b:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{\frac{3Ax^2}{4}+\frac{9-3A}{4}}-x-\frac{1}{2}}{x^2+x-2}$
Faktorkan penyebutnya: $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.
Mari kita evaluasi pembilangnya saat x=1:
$\sqrt{\frac{3A}{4}+\frac{9-3A}{4}}-1-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{3A+9-3A}{4}}-1-\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{9}{4}}-1-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}-1-\frac{1}{2} = \frac{3-2-1}{2} = 0$.
Karena pembilang dan penyebut menuju 0, kita bisa gunakan aturan L'Hopital atau perkalian sekawan. Mari kita gunakan perkalian sekawan pada pembilang:
$\frac{\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}-x-\frac{1}{2}}{x^2+x-2} \times \frac{\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}+(x+\frac{1}{2})}{\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}+(x+\frac{1}{2})}$
$= \frac{(\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4})-(x+\frac{1}{2})^2}{(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}-(x^2+x+\frac{1}{4})}{(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}-x^2-x-\frac{1}{4}}{(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{b}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
Substitusikan $b=9-a$:
$= \frac{\frac{ax^2}{4}+\frac{9-a}{4}-x^2-x-\frac{1}{4}}{(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2}{4}+\frac{9-a}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{\frac{ax^2+9-a-4x^2-4x-1}{4}}{(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2+9-a}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{ax^2+9-a-4x^2-4x-1}{4(x^2+x-2)(\sqrt{\frac{ax^2+9-a}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{(a-4)x^2-4x+(8-a)}{4(x-1)(x+2)(\sqrt{\frac{ax^2+9-a}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
Kita tahu bahwa $a=3A$. Substitusikan ini ke dalam pembilang:
$(3A-4)x^2-4x+(8-3A)$. Saat x=1, pembilang ini harus nol:
$(3A-4)(1)^2-4(1)+(8-3A) = 3A-4-4+8-3A = 0$. Ini sudah benar.
Sekarang kita perlu memfaktorkan pembilang $(a-4)x^2-4x+(8-a)$. Karena x=1 adalah akar, maka (x-1) adalah faktornya.
Dengan pembagian polinomial atau inspeksi:
$(a-4)x^2-4x+(8-a) = (x-1)((a-4)x - (8-a))$ 
$= (x-1)(ax-4x-8+a)$
Jadi, limitnya menjadi:
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(ax-4x-8+a)}{4(x-1)(x+2)(\sqrt{\frac{ax^2+9-a}{4}}+(x+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{a(1)-4(1)-8+a}{4(1+2)(\sqrt{\frac{a(1)^2+9-a}{4}}+(1+\frac{1}{2}))}$
$= \frac{a-4-8+a}{4(3)(\sqrt{\frac{a+9-a}{4}}+ \frac{3}{2})}$
$= \frac{2a-12}{12(\sqrt{\frac{9}{4}}+ \frac{3}{2})}$
$= \frac{2a-12}{12(\frac{3}{2}+ \frac{3}{2})}$
$= \frac{2a-12}{12(3)}$
$= \frac{2a-12}{36}$
$= \frac{2(a-6)}{36}$
$= \frac{a-6}{18}$
Sekarang substitusikan $a = 3A$: $\frac{3A-6}{18} = \frac{3(A-2)}{18} = \frac{A-2}{6}$.