Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Jika lim x->4 (ax+b-akar(x))/(x-4)=3/4 maka a+b sama
Pertanyaan
Jika $\lim_{x \to 4} \frac{ax + b - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{3}{4}$, berapakah nilai dari $a+b$?
Solusi
Verified
Nilai a+b adalah -1.
Pembahasan
Kita diberikan limit: $\lim_{x \to 4} \frac{ax + b - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{3}{4}$ Ketika $x \to 4$, penyebut $(x-4)$ mendekati 0. Agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (yaitu $\frac{3}{4}$), pembilang juga harus mendekati 0 ketika $x \to 4$. Ini adalah syarat agar kita tidak mendapatkan bentuk $\frac{k}{0}$ di mana $k \neq 0$. Jadi, kita substitusikan $x=4$ ke pembilang: $a(4) + b - \sqrt{4} = 0$ $4a + b - 2 = 0$ $4a + b = 2$ (Persamaan 1) Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$ saat $x=4$, kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar (mengalikan dengan konjugat). **Menggunakan Aturan L'Hôpital:** Turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$: Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(ax + b - \sqrt{x}) = a - \frac{1}{2\sqrt{x}}$ Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x - 4) = 1$ Maka limitnya menjadi: $\lim_{x \to 4} \frac{a - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \frac{3}{4}$ Substitusikan $x=4$ ke dalam ekspresi yang diturunkan: $a - \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4}$ $a - \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$ $a - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ $a = \frac{4}{4}$ $a = 1$ Sekarang kita substitusikan nilai $a=1$ ke dalam Persamaan 1: $4(1) + b = 2$ $4 + b = 2$ $b = 2 - 4$ $b = -2$ Yang ditanyakan adalah $a+b$: $a+b = 1 + (-2) = -1$ **Alternatif: Menggunakan Manipulasi Aljabar (Konjugat):** $\lim_{x \to 4} \frac{ax + b - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{3}{4}$ Karena $4a + b = 2$, maka $b = 2 - 4a$. Substitusikan ini ke dalam pembilang: $\lim_{x \to 4} \frac{ax + (2 - 4a) - \sqrt{x}}{x - 4}$ Kita bisa mengelompokkan suku-suku di pembilang: $\lim_{x \to 4} \frac{a(x - 4) + 2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ Ini masih belum bentuk $\frac{0}{0}$ yang jelas untuk disederhanakan. Mari kita gunakan $b=2-4a$ dan manipulasi ulang pembilang: $ax + b - \sqrt{x} = ax + (2 - 4a) - \sqrt{x}$ Kita ingin membentuk $(x-4)$ di pembilang. Perhatikan bahwa $ax - 4a = a(x-4)$. Jadi, $ax + 2 - 4a - \sqrt{x}$ bisa ditulis sebagai $a(x-4) + 2 - \sqrt{x}$. Agar pembilang menjadi nol saat $x=4$, kita punya $4a+b-2=0$, jadi $b=2-4a$. Maka pembilangnya menjadi $ax + (2-4a) - \sqrt{x}$. Kita bisa menulis ulang $ax + b - \sqrt{x}$ sebagai $a(x-4) + 4a + b - \sqrt{x}$. Karena $4a+b=2$, maka $a(x-4) + 2 - \sqrt{x}$. Mari kita fokus pada $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$. Kita bisa memanipulasi ini: $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{-1}{\sqrt{x} + 2}$ Jadi, limitnya menjadi: $\lim_{x \to 4} \frac{a(x - 4)}{x - 4} + \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ $= \lim_{x \to 4} a + \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ $= a + \lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$ $= a + \lim_{x \to 4} \frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$ $= a + \lim_{x \to 4} \frac{-1}{\sqrt{x} + 2}$ $= a + \frac{-1}{\sqrt{4} + 2}$ $= a + \frac{-1}{2 + 2}$ $= a - \frac{1}{4}$ Kita tahu limit ini sama dengan $\frac{3}{4}$: $a - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ $a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ $a = 1$ Dengan $a=1$, kita gunakan $4a+b=2$ untuk mencari $b$: $4(1) + b = 2$ $4 + b = 2$ $b = -2$ Maka $a+b = 1 + (-2) = -1$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Aljabar, Aturan L Hopital
Apakah jawaban ini membantu?