Jika lim x->4 (ax+b-akar(x))/(x-4)=3/4 maka a+b sama

Nilai a+b adalah -1.

Pembahasan

Kita diberikan limit:
$\lim_{x \to 4} \frac{ax + b - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{3}{4}$

Ketika $x \to 4$, penyebut $(x-4)$ mendekati 0. Agar limit ini memiliki nilai yang terhingga (yaitu $\frac{3}{4}$), pembilang juga harus mendekati 0 ketika $x \to 4$. Ini adalah syarat agar kita tidak mendapatkan bentuk $\frac{k}{0}$ di mana $k \neq 0$.

Jadi, kita substitusikan $x=4$ ke pembilang:
$a(4) + b - \sqrt{4} = 0$
$4a + b - 2 = 0$
$4a + b = 2$  (Persamaan 1)

Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$ saat $x=4$, kita bisa menggunakan Aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar (mengalikan dengan konjugat).

**Menggunakan Aturan L'Hôpital:**
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap $x$:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(ax + b - \sqrt{x}) = a - \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x - 4) = 1$

Maka limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 4} \frac{a - \frac{1}{2\sqrt{x}}}{1} = \frac{3}{4}$

Substitusikan $x=4$ ke dalam ekspresi yang diturunkan:
$a - \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{3}{4}$
$a - \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$
$a - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$a = \frac{4}{4}$
$a = 1$

Sekarang kita substitusikan nilai $a=1$ ke dalam Persamaan 1:
$4(1) + b = 2$
$4 + b = 2$
$b = 2 - 4$
$b = -2$

Yang ditanyakan adalah $a+b$:
$a+b = 1 + (-2) = -1$

**Alternatif: Menggunakan Manipulasi Aljabar (Konjugat):**
$\lim_{x \to 4} \frac{ax + b - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{3}{4}$
Karena $4a + b = 2$, maka $b = 2 - 4a$. Substitusikan ini ke dalam pembilang:
$\lim_{x \to 4} \frac{ax + (2 - 4a) - \sqrt{x}}{x - 4}$
Kita bisa mengelompokkan suku-suku di pembilang:
$\lim_{x \to 4} \frac{a(x - 4) + 2 - \sqrt{x}}{x - 4}$
Ini masih belum bentuk $\frac{0}{0}$ yang jelas untuk disederhanakan. Mari kita gunakan $b=2-4a$ dan manipulasi ulang pembilang:
$ax + b - \sqrt{x} = ax + (2 - 4a) - \sqrt{x}$
Kita ingin membentuk $(x-4)$ di pembilang. Perhatikan bahwa $ax - 4a = a(x-4)$.
Jadi, $ax + 2 - 4a - \sqrt{x}$ bisa ditulis sebagai $a(x-4) + 2 - \sqrt{x}$.
Agar pembilang menjadi nol saat $x=4$, kita punya $4a+b-2=0$, jadi $b=2-4a$. Maka pembilangnya menjadi $ax + (2-4a) - \sqrt{x}$.

Kita bisa menulis ulang $ax + b - \sqrt{x}$ sebagai $a(x-4) + 4a + b - \sqrt{x}$.
Karena $4a+b=2$, maka $a(x-4) + 2 - \sqrt{x}$.

Mari kita fokus pada $\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$. Kita bisa memanipulasi ini:
$\frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4} = \frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{-1}{\sqrt{x} + 2}$

Jadi, limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 4} \frac{a(x - 4)}{x - 4} + \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$
$= \lim_{x \to 4} a + \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$
$= a + \lim_{x \to 4} \frac{2 - \sqrt{x}}{x - 4}$
$= a + \lim_{x \to 4} \frac{-( \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$
$= a + \lim_{x \to 4} \frac{-1}{\sqrt{x} + 2}$
$= a + \frac{-1}{\sqrt{4} + 2}$
$= a + \frac{-1}{2 + 2}$
$= a - \frac{1}{4}$

Kita tahu limit ini sama dengan $\frac{3}{4}$:
$a - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$
$a = 1$

Dengan $a=1$, kita gunakan $4a+b=2$ untuk mencari $b$:
$4(1) + b = 2$
$4 + b = 2$
$b = -2$

Maka $a+b = 1 + (-2) = -1$.