lim x->0 akar(sin2x+1-akar(tan2x+1/x^3=...

Nilai limit adalah -2, namun memerlukan perhitungan lanjutan.

Pembahasan

Soal ini adalah soal limit fungsi trigonometri yang melibatkan akar. Untuk menyelesaikannya, kita perlu menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. 
lim x->0 [akar(sin(2x)+1) - akar(tan(2x)+1)] / x^3
Kita bisa mencoba mengalikan dengan akar sekawan:
lim x->0 [ (sin(2x)+1) - (tan(2x)+1) ] / [ x^3 * (akar(sin(2x)+1) + akar(tan(2x)+1)) ]
lim x->0 [ sin(2x) - tan(2x) ] / [ x^3 * (akar(sin(2x)+1) + akar(tan(2x)+1)) ]
Karena sin(2x) ≈ 2x dan tan(2x) ≈ 2x untuk x mendekati 0, dan akar(sin(2x)+1) + akar(tan(2x)+1) mendekati akar(1)+akar(1) = 2, maka:
lim x->0 [ 2x - 2x ] / [ x^3 * 2 ] = lim x->0 [ 0 ] / [ 2x^3 ] = 0.
Namun, pendekatan ini mungkin terlalu menyederhanakan. Untuk penyelesaian yang lebih rigor, perlu digunakan ekspansi Taylor atau L'Hopital rule secara berulang.
Dengan menggunakan ekspansi Taylor untuk sin(2x) = 2x - (2x)^3/6 + ... dan tan(2x) = 2x + (2x)^3/3 + ...
lim x->0 [ (2x - 8x^3/6) - (2x + 8x^3/3) ] / [ x^3 * 2 ]
lim x->0 [ -8x^3/6 - 8x^3/3 ] / [ 2x^3 ]
lim x->0 [ -4x^3/3 - 8x^3/3 ] / [ 2x^3 ]
lim x->0 [ -12x^3/3 ] / [ 2x^3 ]
lim x->0 [ -4x^3 ] / [ 2x^3 ] = -2. 
Perhitungan ini perlu diverifikasi lebih lanjut.