Jika lim _(x -> a) (sin (x^(2)-a^(2)))/(x-a)=b , maka nilai

Nilainya adalah 4a.

Pembahasan

Diberikan lim (x -> a) (sin (x^2 - a^2))/(x - a) = b.
Kita perlu mencari nilai b terlebih dahulu.
Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusi x=a, kita akan mendapatkan bentuk 0/0.

Aturan L'Hopital: Jika lim (x->c) f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka lim (x->c) f(x)/g(x) = lim (x->c) f'(x)/g'(x).

Turunan dari pembilang (sin(x^2 - a^2)) adalah cos(x^2 - a^2) * (2x).
Turunan dari penyebut (x - a) adalah 1.

Maka, limitnya menjadi:

lim (x -> a) [cos(x^2 - a^2) * 2x] / 1

Sekarang, substitusikan x = a:

b = cos(a^2 - a^2) * 2a

b = cos(0) * 2a

b = 1 * 2a

b = 2a

Jadi, kita mendapatkan hubungan b = 2a.

Selanjutnya, kita perlu mencari nilai dari lim (x -> b) (sin (x^2 - b^2))/(x - b).
Kita gunakan kembali aturan L'Hopital untuk limit ini.

Turunan dari pembilang (sin(x^2 - b^2)) adalah cos(x^2 - b^2) * (2x).
Turunan dari penyebut (x - b) adalah 1.

Maka, limitnya menjadi:

lim (x -> b) [cos(x^2 - b^2) * 2x] / 1

Sekarang, substitusikan x = b:

= cos(b^2 - b^2) * 2b

= cos(0) * 2b

= 1 * 2b

= 2b

Karena kita tahu bahwa b = 2a, maka kita bisa substitusikan nilai b ke dalam hasil akhir:

Hasil = 2 * (2a)

Hasil = 4a

Jadi, nilai dari lim (x -> b) (sin (x^2 - b^2))/(x - b) adalah 4a.