Jika limit x->2 (akar(ax^2+b)-8)/(x-2)=A untuk suatu A e R

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Ini adalah soal limit yang melibatkan bentuk tak tentu. Kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena ketika x mendekati 2, baik pembilang maupun penyebutnya mendekati 0.

Untuk limit pertama: limit x->2 (akar(ax^2+b)-8)/(x-2)=A
Karena limitnya ada (A є R), maka pembilang harus nol saat x=2:
 akar(a(2)^2+b) - 8 = 0
 akar(4a+b) = 8
 4a + b = 64
 b = 64 - 4a

Sekarang kita gunakan aturan L'Hopital pada limit pertama:
limit x->2 (d/dx(akar(ax^2+b)-8))/(d/dx(x-2))
= limit x->2 ( (1/2) * (ax^2+b)^(-1/2) * 2ax ) / 1
= limit x->2 ( ax / akar(ax^2+b) )
Ganti x=2:
= (a*2) / akar(a(2)^2+b)
= 2a / akar(4a+b)
Karena akar(4a+b) = 8, maka:
= 2a / 8
= a/4
Jadi, A = a/4.

Sekarang kita substitusikan b = 64 - 4a ke dalam ekspresi yang limitnya ingin kita cari:
limit x->2 ((ax^2+b)^(1/3)-2x)/(x^2+x-2)
Substitusi b:
= limit x->2 ((ax^2 + 64 - 4a)^(1/3) - 2x) / (x^2+x-2)

Perhatikan bahwa saat x=2, pembilangnya adalah:
(a(2)^2 + 64 - 4a)^(1/3) - 2(2)
= (4a + 64 - 4a)^(1/3) - 4
= (64)^(1/3) - 4
= 4 - 4 = 0

Dan penyebutnya saat x=2:
(2)^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4.

Ini berarti limitnya bukan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, melainkan 0/4.

Jadi, nilai limitnya adalah 0/4 = 0.

Mari kita periksa kembali apakah ada kesalahan interpretasi atau perhitungan.
Jika b = 64 - 4a, maka ax^2+b = ax^2 + 64 - 4a.
Saat x=2, ax^2+b = 4a + 64 - 4a = 64.

Limit pertama:
limit x->2 (akar(ax^2+b)-8)/(x-2)=A
Kita sudah dapatkan a/4 = A.

Limit kedua:
limit x->2 ((ax^2+b)^(1/3)-2x)/(x^2+x-2)
Substitusi b = 64 - 4a:
= limit x->2 ((ax^2 + 64 - 4a)^(1/3) - 2x) / (x^2+x-2)
Saat x=2:
Pembilang = (a(4) + 64 - 4a)^(1/3) - 2(2) = (4a + 64 - 4a)^(1/3) - 4 = 64^(1/3) - 4 = 4 - 4 = 0.
Penyebut = (2)^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4.

Jadi, nilai limitnya adalah 0/4 = 0.

Ada kemungkinan soal ini dirancang agar kita perlu menggunakan nilai A (a/4) pada perhitungan kedua, namun tampaknya tidak demikian. Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam soal atau kita perlu menggunakan aturan L'Hopital pada limit kedua juga, meskipun tidak perlu.

Aturan L'Hopital pada limit kedua:
limit x->2 (d/dx((ax^2+b)^(1/3)-2x))/(d/dx(x^2+x-2))
= limit x->2 ( (1/3)(ax^2+b)^(-2/3) * 2ax - 2 ) / (2x+1)
Substitusi x=2 dan b = 64-4a:
= ( (1/3)(a(4)+64-4a)^(-2/3) * 2a(2) - 2 ) / (2(2)+1)
= ( (1/3)(4a+64-4a)^(-2/3) * 4a - 2 ) / (5)
= ( (1/3)(64)^(-2/3) * 4a - 2 ) / 5
= ( (1/3) * (1/16) * 4a - 2 ) / 5  (karena 64^(1/3) = 4, jadi 64^(2/3) = 16)
= ( 4a / 48 - 2 ) / 5
= ( a/12 - 2 ) / 5
= (a - 24) / 60

Jika nilai limitnya adalah A, maka (a-24)/60 = A = a/4.
(a-24)/60 = a/4
4(a-24) = 60a
4a - 96 = 60a
-96 = 56a
a = -96 / 56 = -12 / 7.

Jika a = -12/7, maka b = 64 - 4a = 64 - 4(-12/7) = 64 + 48/7 = (448 + 48)/7 = 496/7.

Dengan nilai a dan b ini, kita hitung limit kedua lagi.
Limit kedua = (a - 24) / 60 = (-12/7 - 24) / 60 = (-12/7 - 168/7) / 60 = (-180/7) / 60 = -180 / (7 * 60) = -3 / 7.

Namun, A = a/4 = (-12/7)/4 = -3/7.
Jadi nilai limit kedua adalah A = -3/7.

Mari kita cek jika substitusi langsung x=2 memberikan hasil 0/4 = 0.
Ini terjadi karena kita punya (ax^2+b)^(1/3) - 2x. Dan kita tahu ax^2+b = 64 saat x=2. Jadi kita punya 64^(1/3) - 2(2) = 4 - 4 = 0.
Penyebutnya x^2+x-2 = (x+2)(x-1). Saat x=2, penyebutnya adalah (2+2)(2-1) = 4*1 = 4.
Jadi, nilai limitnya adalah 0/4 = 0.

Ada kontradiksi antara hasil menggunakan L'Hopital dan substitusi langsung jika kita mengasumsikan limit kedua sama dengan A. Jika limit kedua tidak sama dengan A, maka jawabannya adalah 0.

Jika soal menyatakan "maka nilai dari limit x->2 ((ax^2+b)^(1/3)-2x)/(x^2+x-2)=.... " tanpa menyatakan sama dengan A, maka jawabannya adalah 0.

Jika ada asumsi bahwa kedua limit bernilai sama, mari kita cek ulang.
Limit pertama = a/4.
Limit kedua = (a-24)/60.
Jika keduanya sama, a/4 = (a-24)/60.
15a = a - 24
14a = -24
a = -24/14 = -12/7.

Nilai limit = a/4 = (-12/7)/4 = -3/7.

Karena pertanyaan tidak secara eksplisit menyatakan bahwa kedua limit sama, dan pada limit kedua substitusi langsung menghasilkan 0/4, maka jawaban yang paling logis adalah 0.
Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda dan salah satu pilihan adalah -3/7, maka interpretasi kedua (kedua limit sama) mungkin yang dimaksud.

Mengacu pada struktur soal, biasanya nilai A pada limit pertama digunakan untuk menyederhanakan limit kedua atau ada hubungan. Karena substitusi langsung pada limit kedua menghasilkan 0/4, maka nilai limit tersebut adalah 0.

Jika kita cek ulang aturan L'Hopital pada limit kedua:
limit x->2 ( (1/3)(ax^2+b)^(-2/3) * 2ax - 2 ) / (2x+1)
Substitusi x=2, b=64-4a:
= ( (1/3)(64)^(-2/3) * 4a - 2 ) / 5
= ( (1/3)(1/16) * 4a - 2 ) / 5
= ( a/12 - 2 ) / 5 = (a - 24) / 60.

Jika nilai limit tersebut adalah A, maka A = (a-24)/60. Kita tahu A = a/4. Maka a/4 = (a-24)/60 => 15a = a - 24 => 14a = -24 => a = -12/7.
Dalam kasus ini, nilai limitnya adalah A = a/4 = (-12/7)/4 = -3/7.

Karena soal bertanya "maka nilai dari limit ... = ....", dan tidak ada penegasan bahwa nilai limit tersebut adalah A, maka kita harus menghitung nilai limit tersebut secara independen.
Dengan substitusi langsung x=2 pada limit kedua, kita mendapatkan 0/4 = 0.
Ini adalah hasil yang paling langsung dan konsisten dengan substitusi jika pembilang menjadi 0 dan penyebut tidak.

Jawaban yang paling mungkin adalah 0, kecuali jika ada konvensi dalam soal seperti ini bahwa nilai limit kedua juga sama dengan A.