Jika limit x->3 (ax^2+b+3)/(x^2-2x-3)=3/4, maka nilai dari

-6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=3 langsung, hasilnya akan menjadi bentuk tak tentu 0/0.

Misalkan f(x) = ax^2+b+3 dan g(x) = x^2-2x-3.
Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 2ax.
Turunan pertama dari g(x) adalah g'(x) = 2x-2.

Menurut aturan L'Hopital, limit x->3 f(x)/g(x) = limit x->3 f'(x)/g'(x).

lim x->3 (2ax) / (2x-2) = 3/4

Substitusikan x=3 ke dalam persamaan:
(2a*3) / (2*3 - 2) = 3/4
6a / (6 - 2) = 3/4
6a / 4 = 3/4

Kalikan kedua sisi dengan 4:
6a = 3
a = 3/6
a = 1/2

Sekarang kita substitusikan nilai a = 1/2 ke dalam fungsi awal untuk mencari nilai b, karena limitnya diketahui ada (3/4).
lim x->3 ( (1/2)x^2 + b + 3 ) / (x^2 - 2x - 3) = 3/4
Karena penyebut menjadi 0 saat x=3, pembilang juga harus menjadi 0 agar limitnya terdefinisi.
(1/2)(3^2) + b + 3 = 0
(1/2)(9) + b + 3 = 0
4.5 + b + 3 = 0
7.5 + b = 0
b = -7.5 atau -15/2

Terakhir, kita hitung nilai dari 3a + b:
3a + b = 3(1/2) + (-15/2)
3a + b = 3/2 - 15/2
3a + b = (3 - 15) / 2
3a + b = -12 / 2
3a + b = -6